Ряд Пеано

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Ряд Пеано — бесконечная сумма, в которой слагаемые получены последовательным применением операторов интегрирования и перемножения матриц.

Ряд Пеано предложен в 1888 году Джузеппе Пеано[1] для определения матрицанта системы обыкновенных дифференциальных уравнений нормального вида[2]. Общая теория и свойства матрицантов для системы уравнений нормального вида (СНВ) разработаны Ф. Р. Гантмахером[3].

В последние годы алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, широко применяются для решения прикладных задач[4]. В связи с развитием вычислительной техники появилась возможность реализовать подобные алгоритмы не только в аналитическом, но и в численном и в численно-аналитическом виде.

Определение

Система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами нормального вида (СНВ):

[math]\displaystyle{ \int Y' dx = AY + F }[/math],

где [math]\displaystyle{ Y }[/math] — вектор неизвестных функций, [math]\displaystyle{ A }[/math] — матрица коэффициентов [math]\displaystyle{ F }[/math] — вектор заданных функций (вектор «нагрузок»).

[math]\displaystyle{ Y = {\left\{ {{y_i}\left( t \right)} \right\}^T};A = \left[ {{a_{ij}}\left( t \right)} \right];F = {\left\{ {{f_i}\left( t \right)} \right\}^T};i = 1,2,\ldots,n }[/math].

Общее решение системы дифференциальных уравнений нормального вида выражается через матрицу фундаментальных решений (матрицант):

[math]\displaystyle{ \Omega (t) = [{\omega _{ij}}(t)] }[/math].

[math]\displaystyle{ Y = \Omega C + {Y_F} }[/math], [math]\displaystyle{ {Y_F} = \Omega \int {{\Omega ^{ - 1}}F} }[/math]

Дж. Пеано показал, что матрицант матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] представим в виде операторного ряда:

[math]\displaystyle{ \Omega = [{\omega _{ij}}] = E + \int A \,\; + \int A \int A \,\, + \int A \,\int A \,\int A \, + \ldots }[/math],

где [math]\displaystyle{ E }[/math] — единичная матрица. При этом матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] должна быть ограниченной и интегрируемой матричной функцией в рассматриваемом промежутке изменения аргумента. Ряд сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом интервале, в котором матрица А непрерывна.

Оператор интегрирования представляет собой интеграл с переменным верхним пределом:

[math]\displaystyle{ \int {\left( {\ldots} \right)} = \int_{{t_0}}^t {\left( {\ldots} \right)} \,dt \,;\begin{array}{*{20}{c}} {} & {\int\limits_{}^2 {\left( {\ldots} \right) = \,\int {\int {\left( {\ldots} \right)} } = \int\limits_{{t_0}}^t {\left( {\int\limits_{{t_o}}^{{t_\xi }} {\left( {\ldots} \right) d{t_\xi }} } \right)} } } \\ \end{array}\,dt }[/math].

Из этих выражений следует, что

[math]\displaystyle{ \Omega \left( {{t_0}} \right) = [{\omega _{ij}}\left( {{t_0}} \right)] = E }[/math].

[math]\displaystyle{ {\omega _{ii}}\left( {{t_0}} \right) = \,1;\quad \;{\omega _{ij}}\left( {{t_0}} \right) = 0\,,\quad i \ne j.\quad C = {Y_0} = {\left\{ {{y_{0,i}}} \right\}^T};\quad {y_{0,i}} = {y_i}\left( {{t_0}} \right) }[/math].

Возможна и другая, физически более удобная, форма представления общего решения:

[math]\displaystyle{ Y = \Omega \cdot ({Y_0} + {U_P}) \,;\quad {U_P} = \int {{\Omega ^{ - 1}}F\,.} }[/math].

Здесь [math]\displaystyle{ Y_0 }[/math] — вектор начальных значений, которые заданы при [math]\displaystyle{ t=t_0 }[/math]. [math]\displaystyle{ U_P }[/math] — вектор внешних воздействий, которые действуют при [math]\displaystyle{ t \ge t_0 }[/math]. Не нарушая общности, можно считать, что [math]\displaystyle{ t_0 = 0 }[/math].

Таким образом, если переменная физически представляет время, то общее решение представляет собой решение задачи Коши, а если переменная физически представляет расстояние, то общее решение представляет собой решение краевой задачи в виде метода начальных параметров[1].

Область сходимости ряда Пеано

Ряд Пеано сходится в заданном интервале изменения [math]\displaystyle{ t }[/math] абсолютно и равномерно, если сходится мажорантный ряд

[math]\displaystyle{ M = 1 + \mu \left( t \right) + \frac{{n\mu {{\left( t \right)}^2}}}{{2!}} + \frac{{{n^2}\mu {{\left( t \right)}^3}}}{{3!}} + \ldots + \frac{{{n^{k - 1}}\mu {{\left( t \right)}^k}}}{{k!}} + \ldots }[/math],

[math]\displaystyle{ \mu \left( t \right) = \mathop {\max }\limits_{i,j} \int\limits_0^t {\left| {{a_{ij}}\left( t \right)} \right|dt} }[/math].

Следовательно, сходимость ряда определяется величиной наибольшего значения интеграла от абсолютного значения функций [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] в заданном интервале изменения [math]\displaystyle{ t }[/math].

Применение ряда Пеано к решению линейных дифференциальных уравнений

Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами

[math]\displaystyle{ {y^{(n)}} + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}} + {a_{n - 2}}{y^{(n - 2)}} + \ldots + {a_1}y' + {a_0}y = f(t) }[/math]

можно свести к эквивалентной системе уравнений нормального вида введя обозначение

[math]\displaystyle{ {y_i} = {y^{(i - 1)}};\begin{array}{*{20}{c}} {} & {i = 1,2, \ldots,n} \\ \end{array} }[/math].

Продифференцировав это равенство, получим: [math]\displaystyle{ {y'_i} = {y^{(i)}} = {y_{i + 1}} }[/math]

Эти равенства можно рассматривать как уравнения СНВ при [math]\displaystyle{ i-1,2, \dots ,n-1 }[/math]. Последнее уравнение можно получить из исходного уравнения перенеся все члены, кроме [math]\displaystyle{ y^{(n)} }[/math], в правую часть, записав их в обратном порядке и выразив производные через переменные с соответствующим номером:

[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} {y^{(n)}} = - {a_0}y - {a_1}y' - \ldots - {a_{n - 2}}{y^{(n - 2)}} - {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}} + f(x); \\ {{y'}_n} = - {a_0}{y_1} - {a_1}{y_2} - \ldots - {a_{n - 2}}{y_{n - 1}} - {a_{n - 1}}{y_n} + f(x) \\ \end{array} }[/math]

Тогда получаем эквивалентную систему нормального вида:

[math]\displaystyle{ Y' = AY + F }[/math].

Матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] и вектор [math]\displaystyle{ F }[/math] этой системы имеют вид:

[math]\displaystyle{ A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ { - {a_0}} & { - {a_1}} & { - {a_2}} & { - {a_3}} & \cdots & { - {a_{n - 2}}} & { - {a_{n - 1}}} \\ \end{array}} \right] }[/math]; [math]\displaystyle{ F = {\left\{ {0, \ldots ,0,f(x)} \right\}^T} }[/math].

В векторе [math]\displaystyle{ Y }[/math] каждый последующий элемент является производной от предыдущего. Следовательно, каждая последующая строка в [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], начиная со второй, является производной от предыдущей:

[math]\displaystyle{ {\omega _{ij}} = {\omega '_{i - 1,j}} }[/math]

Если обозначить [math]\displaystyle{ {\omega _{1j}} = {\psi _j} }[/math], то матрицант можно представить в виде:

[math]\displaystyle{ \Omega = W = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\psi _1},{\psi _2}, \ldots ,{\psi _n}} \\ {{{\psi '}_1},{{\psi '}_2}, \ldots ,{{\psi '}_n}} \\ \cdots \\ {\psi _1^{(n - 1)},\psi _2^{(n - 1)}, \ldots ,\psi _n^{(n - 1)}} \\ \end{array}} \right] }[/math]

Таким образом, матрицант для эквивалентной системы нормального вида, представляет собой матрицу Вронского[1], причем система фундаментальных решений нормирована в нуле.

Ряд Пеано при решении дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим уравнение с произвольными переменными коэффициентами:

[math]\displaystyle{ y'' + {a_1}\left( t \right) \,y' + {a_0}\left( t \right)\,y = p\left( t \right) }[/math].

Это уравнение сводится к системе нормального вида:

[math]\displaystyle{ Y = {\left\{ {\,y,\,\,y'} \right\}^T} }[/math]; [math]\displaystyle{ A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\;0} & {\;1} \\ { - {a_0}} & { - {a_1}} \\ \end{array}} \right] }[/math]; [math]\displaystyle{ F = {\left\{ {\,0\,,\,p\left( t \right)} \right\}^T} }[/math].

Если [math]\displaystyle{ a_1=0 }[/math], то элементы матрицанта можно представить в виде:

[math]\displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _{11}} = 1 - \int\limits_{}^2 {{a_0}} + \int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} - \int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} + ...} \\ {{\omega _{12}} = x - \int\limits_{}^2 {{a_0}x} + \int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}x} - \int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} x + ...} \\ {{\omega _{21}} = - \int\limits_{}^{} {{a_0}} + \int\limits_{}^{} {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} - \int\limits_{}^{} {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} + \int\limits_{}^{} {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0} - } ...} \\ {{\omega _{22}} = 1 - \int\limits_{}^{} {{a_0}x} + \int\limits_{}^{} {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}x} - \int\limits_{}^{} {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}x} + ...} \\ \end{array}} \right. }[/math]

Если интегралы берутся, то решение представимо в виде рядов по некоторым функциям. В качестве примера применения этих формул рассмотрим уравнение колебаний

[math]\displaystyle{ y'' + {\omega ^2}\,y = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ {a_0} = - {\omega ^2};\quad {a_1} = 0 }[/math].

Элементы матрицанта получаем в виде следующих рядов:

[math]\displaystyle{ {\omega _{11}} = 1 - \frac{{{\omega ^2}\,{t^2}}}{4} + \frac{{{\omega ^4}\,{t^4}}}{{24}} - \,\ldots = \cos \omega \,t\, }[/math];

[math]\displaystyle{ {\omega _{12}} = t\;. - \frac{{{\omega ^2}{t^3}}}{6} + \frac{{{\omega ^4} {t^5}}}{{120}} - \,\ldots = {\omega ^{ - 1}}\,\sin \,\omega \,t }[/math].

Элементы второй строки в матрицанте получаются дифференцированием первой строки:

[math]\displaystyle{ \Omega = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \,\omega t} & {{\omega ^{ - 1}}\,\sin \,\omega t} \\ { - \omega \,\sin \,\omega t} & {\cos \,\omega t} \\ \end{array}} \right]\, }[/math].

Большой практический интерес представляет решение задачи Штурма-Лиувилля[1] для уравнений вида:

[math]\displaystyle{ y'' + \,\lambda \,{\bar a_0}y = 0;\quad {a_0} = - \lambda \,{\bar a_0} }[/math].

В этом случае элементы рядов будут умножаться на соответствующую степень числа [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. Например:

[math]\displaystyle{ {\omega _{12}} = x - \lambda \int\limits_{}^2 {{a_0}x} + {\lambda ^2}\int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}x} - {\lambda ^3}\int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}x + \ldots} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\omega _{21}} = - \lambda \int\limits_{}^{} {{a_0}} + {\lambda ^2}\int\limits_{}^{} {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} - {\lambda ^3}\int\limits_{}^{} {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0} + {\lambda ^4}\int\limits_{}^{} {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}} \int\limits_{}^2 {{a_0}\int\limits_{}^2 {{a_0}} - \ldots}\ldots} }[/math]

При выполнении граничных условий на краях промежутка изменения аргумента эти формулы позволяют составить полином, корни которого дают весь спектр собственных чисел [4].

Реализация алгоритма в численном виде

В тех случаях, когда интегралы не берутся или получаются слишком сложные и громоздкие выражения, возможен численный алгоритм решения задачи. Интервал изменения аргумента разбивается множеством узлов на достаточно малые равные промежутки. Все функции, участвующие в решении задачи, задаются множеством значений в узлах сетки. Каждая функция имеет свой вектор значений в узлах сетки. Все интегралы вычисляются численно, например, с помощью метода трапеций.

Решение прикладных задач

Алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, применяются при решении задач статики, динамики и устойчивости для стержней, пластин и оболочек с переменными параметрами. При расчете двумерных систем применяются методы понижения размерности. При расчете оболочек вращения параметры оболочки и нагрузки в окружном направлении описываются тригонометрическими рядами. Система уравнений нормального вида составляется для каждой гармоники, описывающей изменение свойств оболочки, усилий и деформаций в продольном направлении, и получается общее решение краевой задачи. Эта часть задачи обычно решается численно. Затем с помощью условий совместности эти гармоники объединяются, и получается напряженно-деформированное состояние оболочки, изменяющееся в продольном и окружном направлении.

Примечания

  1. Peano G. Integration par series des equations differentielles lineaires, Math. Ann. 32 (1888), 450—456.
  2. Математическая энциклопедия. Том 3 и 4. Гл. редактор И. М. Виноградов. — М.: Изд-во Советская Энциклопедия. 1982.
  3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 575 с.
  4. Улитин В. В. Ряд Пеано и матрицанты при решении прикладных задач: монография. — СПб.: Изд-во «Парк Ком», 2012. −164 с.