Псевдогармонические колебания
Псевдогармони́ческие колеба́ния — разновидность колебаний, для которых возвращающая сила (сила, стремящаяся вернуть тело в равновесное состояние) не является линейной по величине отклонения. Другими словами, это колебания, для которых «гибкость» системы зависит от перемещения.[1]
Псевдогармонические колебания возникают, например, в системах, где коэффициент упругости рабочего тела не подчиняется закону Гука. Это могут быть амортизаторы, демпферы на резиновой или кожаной основах, а также бетонные или чугунные конструкции. Часто колебательные системы совершают гармонические колебания только при малых отклонениях от положения равновесия; при увеличении отклонения пренебречь нелинейностью становится невозможным.
Уравнение колебаний
Общий вид уравнения псевдогармонических колебаний:[2]
- [math]\displaystyle{ m\frac{d^2x}{dt^2} = F(x, x^2, x^3, \dots) }[/math].
Если можно пренебречь всеми членами [math]\displaystyle{ F }[/math], нелинейными по [math]\displaystyle{ x }[/math], то данное уравнение переходит в уравнение гармонических колебаний.
Свободные псевдогармонические колебания описываются уравнением:
[math]\displaystyle{ x''+ p^2f(x)=0, }[/math]
где [math]\displaystyle{ x }[/math] — перемещение, а [math]\displaystyle{ p^2f(x) }[/math] — восстанавливающая сила.
Примеры
Упругая невесомая проволока длиной [math]\displaystyle{ 2l }[/math] закреплена с двух концов. Груз массы [math]\displaystyle{ m }[/math] закреплен посередине проволоки. В начальный момент времени груз выведен из положения равновесия на расстояние [math]\displaystyle{ a \lt \lt l }[/math] и отпущен без начальной скорости. Сила натяжения проволоки - [math]\displaystyle{ P }[/math], её сечение - [math]\displaystyle{ F }[/math] и модуль Юнга - [math]\displaystyle{ E }[/math]. Уравнение колебаний в данном случае запишется в виде:
- [math]\displaystyle{ m\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{2Px}{l} - \frac{EFx^3}{l^3} }[/math].
Решение этого уравнения можно представить в виде:
- [math]\displaystyle{ x = a\,\operatorname{cn}\left(\sqrt{\frac{2Pl+EFa^2}{ml^3}}t\right) }[/math].
Здесь символом [math]\displaystyle{ \operatorname{cn} }[/math] обозначена эллиптическая функция Якоби. Период таких колебаний равен:
- [math]\displaystyle{ T = 4\sqrt{\frac{ml^3}{2Pl+EFa^2}}K\left(\sqrt{\frac{EFa^2}{4Pl^2+2EFa^2}}\right) }[/math]
Здесь [math]\displaystyle{ K }[/math] - полный нормальный эллиптический интеграл первого рода
См. также
Примечания
Литература
- Сикорский Ю. С. Обыкновенные Дифференциальные уравнения. — Москва : URSS, 2005.
- Тимошенко С. П. Теория колебаний в инженерном деле. — Л. - Москва : Государственное технико-теоретическое издательство, 1934.
Ссылки