Пространство основных функций
Пространство основных функций — структура, с помощью которой строится пространство обобщённых функций (пространство линейных функционалов на пространстве основных функций).
Обобщённые функции имеют большое значение в математической физике, а пространство основных функций используется как основа для строительства обобщённых функций (формально это область определения соответствующих обобщенных функций). Дифференциальные уравнения рассматриваются в т. н. слабом смысле, то есть рассматривается не поточечное равенство, а равенство соответствующих регулярных линейных функционалов на подходящем пространстве основных функций. См. пространства Соболева.
Обычно в качестве пространства основных функций [math]\displaystyle{ \mathcal{D}(\Omega) }[/math] выбирается пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем (т. н. финитных функций) [math]\displaystyle{ C_0^\infty(\Omega) }[/math], на котором вводится следующая сходимость (а значит и топология):
Последовательность [math]\displaystyle{ \left\{u_j\right\}_{j=1}^\infty\subset\mathcal{D}(\Omega) }[/math] сходится к [math]\displaystyle{ u\in\mathcal{D}(\Omega) }[/math], если:
- Функции [math]\displaystyle{ u_j }[/math] равномерно финитны, то есть [math]\displaystyle{ \exists K }[/math] — компакт в [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] и в том числе [math]\displaystyle{ \forall j\;\mathrm{supp}\,u_j\subset K }[/math].
- [math]\displaystyle{ \forall\alpha\;D^{\alpha}u_j(x)\to D^{\alpha}u(x) }[/math] равномерно по [math]\displaystyle{ x }[/math].
Здесь [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] — ограниченная область в [math]\displaystyle{ \R^n }[/math].
Для вопросов преобразования Фурье используются обобщённые функции медленного роста. Для них в качестве основного выбирается класс Шварца [math]\displaystyle{ \mathcal S = \mathcal S(\mathbb R^n) }[/math] — бесконечно гладких на [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math] функций, убывающих при [math]\displaystyle{ |x|\to\infty }[/math] быстрее любой степени [math]\displaystyle{ |x|^{-k} }[/math] вместе со всеми своими производными. Сходимость на нём определяется следующим образом: последовательность функций [math]\displaystyle{ \phi_1, \phi_2,\dots }[/math] сходится к [math]\displaystyle{ \phi^* }[/math], если
- [math]\displaystyle{ \forall\alpha,\beta\in\mathbb N\ |x|^\alpha D^\beta\phi_j(x)\to |x|^\alpha D^\beta\phi^*(x) }[/math] равномерно по [math]\displaystyle{ x }[/math].
Выбор класса Шварца для построения преобразования Фурье на пространстве обобщенных функций обуславливается тем, что преобразование Фурье является автоморфизмом на классе Шварца.
Литература
- В.С. Владимиров. Обобщённые функции в математической физике. — изд. 2-е. — М.: Наука, 1979. — 320 с.