Пространство дифференцируемых функций

Пространством дифференцируемых функций (пространством гладких функций, пространством непрерывно дифференцируемых функций) в функциональном анализе называют пространство всех заданных на компактном множестве [math]\displaystyle{ \Omega\subset R^n }[/math] гладких функций с порядком гладкости [math]\displaystyle{ k }[/math], где k — натуральное число ([math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math]). Обозначения: [math]\displaystyle{ C^k }[/math], [math]\displaystyle{ C^k(\Omega) }[/math] . Все функции из [math]\displaystyle{ C^k }[/math] обладают непрерывными производными вплоть до [math]\displaystyle{ k }[/math]-го порядка включительно.

Пространством бесконечно-дифференцируемых функций (пространством бесконечно-гладких функций) называется множество всех определенных на компакте [math]\displaystyle{ \Omega\subset R^n }[/math] функций, имеющих производные всех порядков. Обозначения: [math]\displaystyle{ C^\infty, C^\infty(\Omega) }[/math]

Для любого [math]\displaystyle{ k }[/math] пространство [math]\displaystyle{ C^k(\Omega) }[/math] содержит в себе пространство [math]\displaystyle{ C^{k+p}(\Omega), \forall p\in\mathbb N }[/math], а также пространство [math]\displaystyle{ C^\infty(\Omega) }[/math] в качестве своего подмножества: [math]\displaystyle{ C^1\supset C^2\supset ...\supset C^\infty }[/math] .

Свойства пространств [math]\displaystyle{ C^k(\Omega) }[/math]

• [math]\displaystyle{ \forall k, C(\Omega)\supset C^{k}(\Omega) }[/math], где [math]\displaystyle{ C(\Omega) }[/math] — пространство непрерывных функций.
• [math]\displaystyle{ \forall k, C^k(\Omega) }[/math] — Банахово пространство. Норма в этом пространстве: [math]\displaystyle{ \forall f\in C^k(\Omega): \|f\|_{C^k}=\sum\limits_{l=0}^{k} \max_{x\in\Omega} |f^{(l)}(x)| }[/math], где [math]\displaystyle{ f^{(0)}(x)=f(x) }[/math], [math]\displaystyle{ f^{(l)}(x)={d^{l}f(x) \over dx^{l}} }[/math] .

Также эту норму можно записать в виде [math]\displaystyle{ \|f\|_{C^k}=\sum\limits_{l=0}^{k}\|f^{(l)}\|_C }[/math] .