Пространство Харди

Пространство Харди — особый вид функциональных пространств в комплексном анализе, аналог [math]\displaystyle{ L^p }[/math]-пространства из функционального анализа. Названо по имени английского математика Харди.

Определение

Пространство Харди [math]\displaystyle{ \ H^p }[/math] при [math]\displaystyle{ 0\lt p\lt \infty }[/math] — это класс голоморфных функций на открытом единичном круге на комплексной плоскости, удовлетворяющих следующему условию

[math]\displaystyle{ \sup_{0\lt r\lt 1} \left(\frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \left|f(re^{i\theta})\right|^p \; d\theta\right)^\frac{1}{p}\lt \infty. }[/math]

Левая часть этого неравенства называется [math]\displaystyle{ \ p }[/math]-нормой в пространстве Харди или просто нормой Харди для [math]\displaystyle{ \ f }[/math], и обозначается [math]\displaystyle{ \ |f|_{H^p} }[/math]. Как и в случае [math]\displaystyle{ L^p }[/math]-пространств, данная норма обобщается на случай [math]\displaystyle{ p=\infty }[/math] как

[math]\displaystyle{ |f|_{H^\infty}\ =\ \sup_{0\lt r\lt 1} \sup_{z:\ |z|=r} |f(z)|\ =\ \sup_{z:\ |z|\lt 1} |f(z)|. }[/math]

Для случая [math]\displaystyle{ 0\lt p\lt q\le\infty }[/math] можно показать, что [math]\displaystyle{ \ H^q }[/math] является подмножеством множества [math]\displaystyle{ \ H^p }[/math].

Применения

Подобные пространства применяются как в классическом математическом анализе, так и в других ветвях анализа и его приложениях, например, гармоническом анализе, теории управления (в частности, для синтеза робастных систем управления) и теории рассеивания.

См. также