Пространство Бесова

Пространства Бесова [math]\displaystyle{ B^s_{p,q}(\mathbb{R}) }[/math] — полные квазиметрические^[англ.] пространства функций, являющиеся банаховыми при 1 ≤ p, q ≤ ∞. Названы в честь разработчика — советского математика Олега Владимировича Бесова. Эти пространства, наравне с определяемыми похожим образом пространствами Трибеля — Лизоркина, являются обобщением более простых функциональных пространств и применяются для определения свойств регулярности функций.

Определение

Существует несколько эквивалентных определений, тут приводится одно из них.

Пусть

[math]\displaystyle{ \Delta_h f(x) = f(x+h) - f(x) }[/math]

и модуль непрерывности определён как

[math]\displaystyle{ \omega^2_p(f,t) = \sup_{|h| \le t} \left \| \Delta^2_h f \right \|_p. }[/math]

Пусть n будет неотрицательным целым числом, а s = n + α с 0 < α ≤ 1. Пространство Бесова [math]\displaystyle{ B^s_{p,q}(\mathbb{R}) }[/math] состоит из функций f таких, что

[math]\displaystyle{ f \in W^{n, p}(\mathbb{R}), \qquad \int_0^\infty \left|\frac{ \omega^2_p \left ( f^{(n)},t \right ) } {t^{\alpha} }\right|^q \frac{dt}{t} \lt \infty, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \bar W^{n,p}( \mathbb{R}) }[/math] — пространство Соболева.

Норма

В пространстве Бесова [math]\displaystyle{ B^s_{p,q}(\mathbb{R}) }[/math] существует норма

[math]\displaystyle{ \left \|f \right \|_{B^s_{p,q}(\mathbb{R})} = \left( \|f\|_{W^{n, p} (\mathbb{R})}^q + \int_0^\infty \left|\frac{ \omega^2_p \left ( f^{(n)}, t \right ) } {t^{\alpha} }\right|^q \frac{dt}{t} \right)^{\frac{1}{q}} }[/math]

Пространства Бесова [math]\displaystyle{ B^s_{2,2}(\mathbb{R}) }[/math] совпадают с более обычными пространствами Соболева [math]\displaystyle{ H^s(\mathbb{R}) }[/math].

Если [math]\displaystyle{ p=q }[/math] и [math]\displaystyle{ s }[/math] — не целое число, то [math]\displaystyle{ B^s_{p,p}(\mathbb{R}) =\bar W^{s,p}( \mathbb{R}) }[/math], где [math]\displaystyle{ \bar W^{s,p}( \mathbb{R}) }[/math] — пространство Соболева.

Теорема вложения

Пусть [math]\displaystyle{ 1\lt p\leqslant q\lt \infty }[/math], [math]\displaystyle{ -\infty\lt t\leqslant s\lt \infty }[/math], [math]\displaystyle{ r\in[1,\infty] }[/math].

Если выполнено равенство [math]\displaystyle{ s-n/p=t-n/q, }[/math] то имеет место непрерывное вложение

[math]\displaystyle{ B^s_{p,r}(\mathbb{R}^n)\subset B^t_{q,r}(\mathbb{R}^n). }[/math]

Если [math]\displaystyle{ s=n/p+t }[/math], [math]\displaystyle{ t\gt 0 }[/math] и выполнено хотя бы одно из двух условий: [math]\displaystyle{ r=1 }[/math] или [math]\displaystyle{ t }[/math] не целое число, — то верно вложение

[math]\displaystyle{ B^s_{p,r}(\mathbb{R}^n)\subset C^t(\mathbb{R}^n). }[/math]

Замечание: при [math]\displaystyle{ s\lt 0,\ q\ne 1 }[/math] пространство [math]\displaystyle{ B^s_{p,r}(\mathbb{R}^n) }[/math] можно понимать как пространство, сопряженное к [math]\displaystyle{ B^{s'}_{p',r'}(\mathbb{R}^n) }[/math], где [math]\displaystyle{ s'=-s,\ 1/p+1/p'=1,\ 1/r+1/r'=1. }[/math]

Интерполяция пространств Бесова

Пусть [math]\displaystyle{ s_0, s_1\in \mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ s_0\ne s_1,\ p\in(1,\infty) }[/math], [math]\displaystyle{ q_1,q_2,q\in[1,\infty],\ \theta\in(0,1) }[/math].

Тогда для интерполяционных пространств верно следующее равенство [math]\displaystyle{ \left(B^{s_0}_{p,q_1}(\mathbb{R}^n),B^{s_1}_{p,q_2}(\mathbb{R}^n)\right)_{\theta,q}=B^{(1-\theta)s_0+\theta s_1}_{p,q}(\mathbb{R}^n). }[/math]

Литература

О.В. Бесов, “О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения”, Докл. АН СССР, 126:6 (1959), 1163–1165
Triebel, H. "Theory of Function Spaces II". (англ.)
Трибель, Х. "Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы", 1980.
DeVore, R. and Lorentz, G. "Constructive Approximation", 1993. (англ.)
DeVore, R., Kyriazis, G. and Wang, P. "Multiscale characterizations of Besov spaces on bounded domains", Journal of Approximation Theory 93, 273-292 (1998). (англ.)

Ссылки

9.2 Пространства Бесова / Д. Пикар, "Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения" (перевод К.А.Алексеева), ISBN 978-1-4612-2222-4, 1998