Принцип разделимости

Принцип разделимости (или принцип отделимости) — один из принципов доказательств в математике, основанный на том, что некоторые не пересекающиеся множества могут быть некоторым образом разделены в пространстве. Являясь всего лишь принципом (а не аксиомой), принцип разделимости требует доказательства обоснованности применения в каждом конкретном случае.

Применение принципа разделимости существенно основано на выполнении аксиом отделимости для данного пространства.

Отделимость в евклидовом пространстве

В конечномерном евклидовом пространстве [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math] принцип разделимости работает всегда, в том смысле, что для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существует поверхность, разделяющая пространство на две непересекающиеся части так, что каждое множество целиком принадлежит одной из этих частей.

Отделимость в банаховом пространстве

В функциональных (в частности, банаховых) пространствах достаточно сложно гарантировать отделимость произвольных множеств. Тем не менее, в частных случаях задача решается достаточно легко. Например:

Любые два непересекающихся выпуклых множества, одно из которых имеет непустую внутренность, можно разделить гиперплоскостью.
Любые два непересекающихся замкнутых выпуклых множества, одно из которых компактно, можно сильно разделить гиперплоскостью.

Связанные определения

Множества A и B в банаховом пространстве называются разделимыми, если существует такой функционал p, что для любых [math]\displaystyle{ a\in A }[/math], [math]\displaystyle{ b\in B }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle p, a\rangle \le \langle p, b \rangle }[/math]

Множества A и B в банаховом пространстве называются сильно разделимыми, если существует такой функционал p, что для любых [math]\displaystyle{ a\in A }[/math], [math]\displaystyle{ b\in B }[/math]

[math]\displaystyle{ \langle p, a\rangle \lt k \lt \langle p, b \rangle, \, k\in \mathcal{R} }[/math]

Применение

Принцип разделимости используется при доказательстве многих сильных геометрических утверждений. В частности, с его помощью обосновываются опорный принцип и теорема Фенхеля — Моро.

См. также

Литература

Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3