Преобразование последовательностей

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Преобразование последовательностейоператор, действующий на пространстве последовательностей  (англ.). Преобразование последовательностей включает в себя такие понятия, как свёртка одной последовательности с другой, их суммирование и биномиальные преобразования, а также преобразования Мёбиуса и Стрилинга  (англ.). Преобразования последовательности могут использоваться для ускорения сходимости ряда.

Определение

Пусть дана последовательность [math]\displaystyle{ S=\{ s_n \}_{n\in\N}. }[/math] Её преобразование обозначается [math]\displaystyle{ \mathbf{T}(S)=S'=\{ s'_n \}_{n\in\N}, }[/math] где

[math]\displaystyle{ s_n' = T(s_n,s_{n+1},\dots,s_{n+k}), }[/math]
причём и [math]\displaystyle{ s_n }[/math], и [math]\displaystyle{ s'_n }[/math] являются либо вещественными, либо комплексными числами. Также можно в общем случае считать их элементами векторного пространства.

Преобразованная последовательность [math]\displaystyle{ s'_n }[/math] сходится быстрее, чем [math]\displaystyle{ s_n }[/math], если

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{s'_n-\ell}{s_n-\ell} = 0, }[/math]
где
[math]\displaystyle{ \ell }[/math]предел сходящейся последовательности [math]\displaystyle{ S }[/math].

Если отображение [math]\displaystyle{ T(s) }[/math] линейно по каждому своему аргументу, то есть если

[math]\displaystyle{ s'_n=\sum_{m=0}^{k} c_m s_{n+m}, }[/math]
для некоторых констант [math]\displaystyle{ c_0,\cdots,c_k }[/math], то преобразование [math]\displaystyle{ T(s) }[/math] называется линейным преобразованием последовательности. Если это условие не соблюдается, то преобразование называется нелинейным.

Примеры

Литература

Ссылки