Банахово пространство

Ба́нахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа.

Названо по имени польского математика Стефана Банаха (1892—1945), который с 1922 года систематически изучал эти пространства.

Примеры

Некоторые примеры банаховых пространств (далее через [math]\displaystyle{ K }[/math] обозначено одно из полей [math]\displaystyle{ \R }[/math] или [math]\displaystyle{ \Complex }[/math]):

Евклидовы пространства [math]\displaystyle{ K^n }[/math] с евклидовой нормой, определяемой для [math]\displaystyle{ x=(x_1,\;\ldots,\;x_n) }[/math] как [math]\displaystyle{ \|x\|=\sqrt{\sum|x_i|^2} }[/math], являются банаховыми пространствами.
Пространство всех непрерывных функций [math]\displaystyle{ f\colon[a,\;b]\to K }[/math], определённых на закрытом интервале [math]\displaystyle{ [a,\;b] }[/math] будет банаховым пространством, если мы определим его норму как [math]\displaystyle{ \|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in[a,\;b]\} }[/math]. Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как [math]\displaystyle{ C[a,b] }[/math]. Этот пример можно обобщить к пространству [math]\displaystyle{ C(X) }[/math] всех непрерывных функций [math]\displaystyle{ X\to K }[/math], где [math]\displaystyle{ X }[/math] — компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций [math]\displaystyle{ X\to K }[/math], где [math]\displaystyle{ X }[/math] — любое топологическое пространство, или даже к пространству [math]\displaystyle{ B(X) }[/math] всех ограниченных функций [math]\displaystyle{ X\to K }[/math], где [math]\displaystyle{ X }[/math] — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются банаховыми алгебрами.
Если [math]\displaystyle{ p\geqslant 1 }[/math] — вещественное число, то пространство всех бесконечных последовательностей [math]\displaystyle{ (x_1,\;x_2,\;x_3,\;\ldots) }[/math] элементов из [math]\displaystyle{ K }[/math], таких что ряд [math]\displaystyle{ \sum|x_i|^p }[/math] сходится, является банаховым относительно нормы, равной корню степени [math]\displaystyle{ p }[/math] из суммы этого ряда, и обозначается [math]\displaystyle{ l^p }[/math].
Банахово пространство [math]\displaystyle{ l^\infty }[/math] состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из [math]\displaystyle{ K }[/math]; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных величин (модулей) элементов последовательности.
Снова, если [math]\displaystyle{ p\geqslant 1 }[/math] — вещественное число, можно рассматривать все функции, интегрируемые по Лебегу (причём степень [math]\displaystyle{ p }[/math] их модуля также суммируема). Корень степени [math]\displaystyle{ p }[/math] этого интеграла от [math]\displaystyle{ p }[/math]-й степени модуля функции определим как полунорму [math]\displaystyle{ f }[/math]. Это множество — не банахово пространство, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] эквивалентны тогда и только тогда, когда полунорма разности [math]\displaystyle{ f-g }[/math] равна нулю. Множество классов эквивалентности относительно этого отношения уже является банаховым пространством; оно обозначается как [math]\displaystyle{ L^p[a,\;b] }[/math]. Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, L^p-пространства.
Если [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму [math]\displaystyle{ X\oplus Y }[/math], которая опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
Если [math]\displaystyle{ M }[/math] — замкнутое подпространство банахова пространства [math]\displaystyle{ X }[/math], то факторпространство [math]\displaystyle{ X/M }[/math] снова является банаховым.
Любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.
Если [math]\displaystyle{ V }[/math] и [math]\displaystyle{ W }[/math] — банаховы пространства над одним полем [math]\displaystyle{ K }[/math], тогда множество непрерывных [math]\displaystyle{ K }[/math]-линейных отображений [math]\displaystyle{ A\colon V\to W }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ L(V,\;W) }[/math]. Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. [math]\displaystyle{ L(V,\;W) }[/math] — векторное пространство, и, если норма задана как [math]\displaystyle{ \|A\|=\sup\{\|Ax\|\colon x\in V,\;\|x\|\leqslant 1\} }[/math], является также и банаховым.
- Пространство [math]\displaystyle{ L(V)=L(V,\;V) }[/math] представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.

Типы банаховых пространств

Литература

И. М. Виноградов. Банахово пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.