Основная лемма вариационного исчисления
Внешний вид
Основная лемма вариационного исчисления (или лемма Лагранжа) даёт интегральное условие на функцию позволяющее заключить, что функция равна нулю. Известно несколько версий леммы; базовую версию легко сформулировать и доказать.
Базовая версия
- Если непрерывная функция [math]\displaystyle{ f }[/math] на открытом интервале [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] удовлетворяет равенству
- [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x)\cdot h(x)\cdot dx = 0 }[/math]
- для всех финитных гладких функций [math]\displaystyle{ h }[/math] на [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math], тогда [math]\displaystyle{ f }[/math] является тождественным нулём[1][2].
Замечания
- Гладкость может означать что функция [math]\displaystyle{ f }[/math] бесконечно дифференцируема[1], но чаще интерпретируется как то, что функция [math]\displaystyle{ f }[/math] дважды непрерывно дифференцируема или даже непрерывно дифференцируема или даже просто непрерывна[2].
- Финитность означает, что [math]\displaystyle{ h }[/math] обнуляется за пределами замкнутого интервала [math]\displaystyle{ [c,d]\subset (a,b) }[/math], но часто достаточно условие того, что [math]\displaystyle{ h }[/math] (или [math]\displaystyle{ h }[/math] и ряд его производных) обращается в нуль на концах интервала [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], в этом случае [math]\displaystyle{ h }[/math] предполагается определённой на интервале [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
Примечания
Литература
- Jost, Jürgen & Li-Jost, Xianqing. Calculus of variations (англ.). — Cambridge University, 1998.
- Gelfand, I. M. & Fomin, S. V. Calculus of variations. — Prentice-Hall, 1963.