Дизъюнктное объединение
Дизъюнктное объединение (также несвязное объединение или несвязная сумма) — это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая, неформально говоря, заключается в объединении непересекающихся «копий» множеств. В частности дизъюнктное объединение двух конечных множеств, состоящих из [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] элементов, будет содержать ровно [math]\displaystyle{ a+b }[/math] элементов, даже если сами множества пересекаются.
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ \{A_i | i \in I\} }[/math] — семейство множеств, перечисленных индексами из [math]\displaystyle{ I }[/math]. Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество
- [math]\displaystyle{ \bigsqcup_{i\in I}A_i = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) | x \in A_i\} }[/math]
Элементы дизъюнктного объединения являются упорядоченными парами [math]\displaystyle{ (x, i) }[/math]. Таким образом [math]\displaystyle{ i }[/math] есть индекс, показывающий, из какого множества [math]\displaystyle{ A_i }[/math] элемент вошёл в объединение. Каждое из множеств [math]\displaystyle{ A_i }[/math] канонически вложено в дизъюнктное объединение как множество
- [math]\displaystyle{ A_i^* = \{(x,i) | x \in A_i\}. }[/math]
При [math]\displaystyle{ \forall i, j \in I: i \neq j }[/math] множества [math]\displaystyle{ A_i^* }[/math] и [math]\displaystyle{ A_j^* }[/math] не имеют общих элементов, даже если [math]\displaystyle{ A_i \cap A_j \neq \varnothing }[/math]. В вырожденном случае, когда множества [math]\displaystyle{ A_i \forall i \in I }[/math] равны какому-то конкретному [math]\displaystyle{ A }[/math], дизъюнктное объединение есть декартово произведение множества [math]\displaystyle{ A }[/math] и множества [math]\displaystyle{ I }[/math], то есть
- [math]\displaystyle{ \bigsqcup_{i\in I}A_i = A \times I. }[/math]
Использование
Иногда можно встретить обозначение [math]\displaystyle{ A + B }[/math] для дизъюнктного объединения двух множеств или следующее для семейства множеств:
- [math]\displaystyle{ \sum_{i\in I}A_i. }[/math]
Такая запись подразумевает, что мощность дизъюнктного объединения равна сумме мощностей множеств семейства. Для сравнения, декартово произведение имеет мощность, равную произведению мощностей.
В категории множеств дизъюнктным объединением является прямая сумма. Термин дизъюнктное объединение также используется в отношении объединения семейства попарно непересекающихся множеств. В этом случае дизъюнктное объединение обозначается, как обычное объединение множеств, совпадая с ним. Такое обозначение часто встречается в информатике. Более формально, если [math]\displaystyle{ C }[/math] — это семейство множеств, то
- [math]\displaystyle{ \bigcup_{A \in C} A }[/math]
есть дизъюнктное объединение в рассмотренном выше смысле тогда и только тогда, когда при любых [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] из [math]\displaystyle{ C }[/math] выполняется следующее условие:
- [math]\displaystyle{ A \neq B \implies A \cap B = \varnothing. }[/math]
Вариации и обобщения
- Если все множества дизъюнктного объединения наделены топологией, то само дизъюнктное объединение топологических пространств (то есть множеств наделённых топологией) имеет естественную топологию — самую сильную топологию такую, что каждое включение является непрерывным отображением. Дизъюнктное объединение с этой топологией называется несвязным объединением топологических пространств.
См. также
Литература
- Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — С. 132.
- Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 9.
- Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — М.: Наука, 1990. — С. 13. — ISBN 5020144266.