Метод медленно меняющихся амплитуд

Метод медленно меняющихся амплитуд (МММА, иногда метод Ван-дер-Поля) применяется для приближенного решения нелинейных уравнений, близких к линейным, а колебания близки к гармоническим. Метод основан на допущении, что амплитуда (огибающая) волны меняется медленно во времени и пространстве по сравнению с периодом волны.

Метод применяется, например, в радиофизике, нелинейной оптике.

Пример

Рассмотрим уравнение электромагнитной волны:

[math]\displaystyle{ \nabla^2 E - \mu_0\, \varepsilon_0\, \frac{\partial^2E}{\partial t^2} = 0, }[/math]

где k₀ и ω₀ волновой вектор и угловая частота волны E(r,t), и используем следующее представление:

[math]\displaystyle{ E(\mathbf{r},t) = \Re\left[ E_0(\mathbf{r},t)\, e^{i\,( \mathbf{k}_0\, \cdot\, \mathbf{r} - \omega_0\, t )} \right], }[/math]

где [math]\displaystyle{ \scriptstyle \Re[\cdot] }[/math] обозначает вещественную часть.

В приближении медленно меняющейся амплитуды предполагается, что комплексная амплитуда E₀(r, t) меняется медленно в зависимости от r и t. Это также предполагает, что E₀(r, t) представляет волну, распространяющуюся вперед в направлении k₀. В результате медленного изменения E₀(r, t), производными высокого порядка можно пренебречь:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \left| \nabla^2 E_0 \right| \ll \left| \vec k_0\cdot \nabla E_0 \right| }[/math]   и   [math]\displaystyle{ \displaystyle \left| \frac{\partial^2 E_0}{\partial t^2} \right| \ll \left| \omega_0\, \frac{\partial E_0}{\partial t} \right|, }[/math]   ,  [math]\displaystyle{ k_0 = |\mathbf{k}_0|. }[/math]

После применения приближения и обнуления высших производных волновое уравнение запишется как :

[math]\displaystyle{ 2\, i\, \mathbf{k}_0\, \cdot \nabla E_0 + 2\, i\, \omega_0\, \mu_0\, \varepsilon_0\, \frac{\partial E_0}{\partial t} - \left( k_0^2 - \omega_0^2\, \mu_0\, \varepsilon_0 \right)\, E_0 = 0. }[/math]

С учетом того, что k₀ и ω₀ удовлетворяют дисперсионному соотношению:

[math]\displaystyle{ k_0^2 - \omega_0^2\, \mu_0\, \varepsilon_0 = 0.\, }[/math]

получаем:

[math]\displaystyle{ \mathbf{k}_0 \cdot \nabla E_0 + \omega_0\, \mu_0\, \varepsilon_0\, \frac{\partial E_0}{\partial t} = 0. }[/math]

Это гиперболическое уравнение, как и исходное волновое уравнение, но теперь первого, а не второго порядка. Оно верно для когерентных распространяющихся в близких к направлению k₀ волн. Часто такое уравнение решить значительно проще, чем исходное.

Параболическое приближение

Рассмотрим распространение вдоль направления z, то есть k₀||z.Тогда метод применяется только к производным по координате z и по времени. Если [math]\displaystyle{ \scriptstyle \Delta_\perp=\partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2 }[/math] — оператор Лапласа в плоскости x-y, получим в результате:

[math]\displaystyle{ k_0 \frac{\partial E_0}{\partial z} + \omega_0\, \mu_0\, \varepsilon_0\, \frac{\partial E_0}{\partial t} - \tfrac12\, i\, \Delta_\perp E_0 = 0. }[/math]

Это параболическое уравнение, поэтому приближение называется также параболическим приближением.

См. также

• Гауссов пучок
• Квазиклассическое приближение