Матрица перехода

В линейной алгебре базис векторного пространства размерности [math]\displaystyle{ n }[/math] — это последовательность из [math]\displaystyle{ n }[/math] векторов [math]\displaystyle{ (\alpha_1, ..., \alpha_n) }[/math], таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто необходимо работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода.

Определение

Если векторы [math]\displaystyle{ \mathbf{b_1},\cdots,\mathbf{b_n} }[/math] выражаются через векторы [math]\displaystyle{ \mathbf{a_1},\cdots,\mathbf{a_n} }[/math] как:

[math]\displaystyle{ \mathbf{b}_1 = \alpha_{11}\mathbf{a}_1 + \alpha_{21}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{n1}\mathbf{a}_n }[/math].

[math]\displaystyle{ \mathbf{b}_2 = \alpha_{12}\mathbf{a}_1 + \alpha_{22}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{n2}\mathbf{a}_n }[/math].

[math]\displaystyle{ \ldots }[/math].

[math]\displaystyle{ \mathbf{b}_n = \alpha_{1n}\mathbf{a}_1 + \alpha_{2n}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{nn}\mathbf{a}_n }[/math].

то матрица перехода от базиса [math]\displaystyle{ (\mathbf{a_1},\cdots,\mathbf{a_n}) }[/math] к базису [math]\displaystyle{ (\mathbf{b_1},\cdots,\mathbf{b_n} }[/math]) будет:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12}&... & \alpha_{1n} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22}&... & \alpha_{2n} \\ ...&...&...&... \\\alpha_{n1} & \alpha_{n2}&... & \alpha_{nn} \end{pmatrix} }[/math]

Использование

При умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису [math]\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_n }[/math], мы получаем тот же вектор, выраженный через базис [math]\displaystyle{ b_1, b_2, \ldots, b_n }[/math].

Пример

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} }[/math]

Матрицы наиболее распространённых преобразований
	В двумерных координатах	В однородных двумерных координатах	В однородных трёхмерных координатах
Масштабирование При a, b и c — коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ:	[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&0 \\ 0&b\end{bmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&0&0 \\ 0&b&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&0&0&0 \\ 0&b&0&0 \\ 0&0&c&0 \\ 0&0&0&1\end{bmatrix} }[/math]
Поворот При φ — угол поворота изображения в двухмерном пространстве	По часовой стрелке [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }[/math]	Относительно OX на угол φ [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi&-\sin\phi& 0 \\ 0 &\sin\phi&\cos\phi& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }[/math]	Относительно OY на угол ψ [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \cos\psi& 0 &\sin\psi& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\psi& 0 &\cos\psi& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }[/math]
	Против часовой стрелки [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \cos \phi &-\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix} }[/math]		Относительно OZ на угол χ [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \cos \chi &-\sin \chi & 0 & 0 \\ \sin \chi &\cos \chi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }[/math]
Перемещение При a, b и c — смещение соответственно по осям OX, OY и OZ.	В неоднородных координатах не имеет матричного представления.	[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }[/math]

Свойства

Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.
[math]\displaystyle{ P_{e \rightarrow e'}^{-1} = P_{e' \rightarrow e} }[/math]

Пример поиска матрицы

Найдём матрицу перехода от базиса [math]\displaystyle{ a_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} }[/math] к единичному базису [math]\displaystyle{ b_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},b_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},b_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} }[/math] путём элементарных преобразований

[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 5 & 1&0 &0 \\ 2 & -4 & 1& 0&1&0 \\ -1 & 2 & 0 & 0&0&1 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2&-10 &-19 \\ 0 & 1 & 0& 1&-5&-9 \\ 0 & 0 & 1 & 0&1&2\end{array}\right) }[/math] следовательно [math]\displaystyle{ P_{a \rightarrow b}=\begin{pmatrix}2&-10 &-19 \\ 1&-5&-9 \\ 0&1&2 \end{pmatrix} }[/math]

См. также

Ссылки

Матрицы перехода от базиса к базису