Упорядоченная группа

Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Далее операция обозначается как сложение, ноль группы обозначается символом [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. Вообще говоря, группа может быть не коммутативной.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] — группа и для её элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение [math]\displaystyle{ \leqslant }[/math] (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: [math]\displaystyle{ x \leqslant x }[/math].
2. Транзитивность: если [math]\displaystyle{ x \leqslant y }[/math] и [math]\displaystyle{ y \leqslant z }[/math], то [math]\displaystyle{ x \leqslant z }[/math].
3. Антисимметричность: если [math]\displaystyle{ x \leqslant y }[/math] и [math]\displaystyle{ y \leqslant x }[/math], то [math]\displaystyle{ x=y }[/math].
4. Линейность: все элементы группы сравнимы между собой, то есть для любых [math]\displaystyle{ x,y }[/math] либо [math]\displaystyle{ x \leqslant y }[/math], либо [math]\displaystyle{ y \leqslant x }[/math].

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с групповой операцией:

5. Если [math]\displaystyle{ x \leqslant y }[/math], то для любого z справедливы соотношения:

[math]\displaystyle{ x+z \leqslant y+z;\quad z+x \leqslant z+y. }[/math]

Если все пять аксиом выполнены, то группа [math]\displaystyle{ G }[/math] называется упорядоченной (или линейно упорядоченной). Если снять требование линейности (аксиома 4), то группа называется частично упорядоченной.

Упорядоченная группа является топологической группой с топологией интервального типа.

Связанные определения

Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: [math]\displaystyle{ x \geqslant y }[/math] означает, что [math]\displaystyle{ y \leqslant x }[/math].

Отношение больше: [math]\displaystyle{ x \gt y }[/math] означает, что [math]\displaystyle{ x \geqslant y }[/math] и [math]\displaystyle{ x \ne y }[/math].

Отношение меньше: [math]\displaystyle{ x \lt y }[/math] означает, что [math]\displaystyle{ y\gt x }[/math].

Формула с любым из этих четырёх отношений называется неравенством.

Назовём изоморфизм упорядоченных групп у-изоморфизмом, если он сохраняет порядок.

Подгруппа [math]\displaystyle{ H }[/math] упорядоченной группы [math]\displaystyle{ G }[/math] называется выпуклой, если все элементы [math]\displaystyle{ g \in G }[/math], находящиеся между элементами [math]\displaystyle{ H, }[/math] принадлежат [math]\displaystyle{ H. }[/math] Формальная запись: если [math]\displaystyle{ h_1, h_2 \in H }[/math] и [math]\displaystyle{ h_1 \leqslant g \leqslant h_2, }[/math] то [math]\displaystyle{ g \in H. }[/math] Подгруппа из одного нуля, очевидно, выпукла и называется тривиальной.

Свойства

Неравенства с одинаковыми типами отношения можно складывать, например:

Если [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math] и [math]\displaystyle{ c\lt d, }[/math] то [math]\displaystyle{ a+c\lt b+d }[/math]

Нетривиальная конечная группа не может быть упорядочена. Другими словами, нетривиальная упорядоченная группа всегда бесконечна.

Архимедовость

Порядок в группе называется архимедовым, если для любых [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ b\gt 0 }[/math] найдётся такое натуральное [math]\displaystyle{ n, }[/math] что:

[math]\displaystyle{ \underbrace{a + a + \ldots + a}_{n} \gt b }[/math]

Теорема Гёльдера. Всякая архимедова упорядоченная группа у-изоморфна подгруппе аддитивной группы вещественных чисел (с обычным порядком); в частности, такая группа всегда коммутативна.

Следствие 1: всякий у-автоморфизм двух подгрупп аддитивной группы вещественных чисел сводится к растяжению, то есть к умножению на фиксированный коэффициент.

Следствие 2: группа у-автоморфизмов архимедовой группы изоморфна подгруппе мультипликативной группы положительных вещественных чисел.

Ещё один критерий архимедовости: упорядоченная группа является архимедовой тогда и только тогда, когда она не содержит нетривиальных выпуклых подгрупп.

Положительные и отрицательные элементы

Элементы, бо́льшие нуля группы, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. При добавлении нуля к этим двум множествам получаются соответственно множество неотрицательных и неположительных элементов. Если [math]\displaystyle{ x \geqslant 0, }[/math] то, прибавив [math]\displaystyle{ -x, }[/math] получим, что [math]\displaystyle{ -x \leqslant 0. }[/math] Это значит, что элементы, обратные неотрицательным, неположительны, и обратно. Таким образом, всякий элемент упорядоченной группы относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, ноль.

Обозначим [math]\displaystyle{ P }[/math] множество неотрицательных элементов. Тогда [math]\displaystyle{ -P, }[/math] то есть множество элементов, противоположных элементам [math]\displaystyle{ P, }[/math] содержит все неположительные элементы. Перечислим свойства этих множеств.

(P1) [math]\displaystyle{ P }[/math] замкнуто относительно сложения.

(P2) [math]\displaystyle{ -P }[/math] имеет с [math]\displaystyle{ P }[/math] ровно один общий элемент — ноль группы: [math]\displaystyle{ P \cap (-P) = \{0\}. }[/math]

(P3) [math]\displaystyle{ (-g)+P+g \subset P }[/math] для любого [math]\displaystyle{ g \in G. }[/math]

(P4) [math]\displaystyle{ P \cup (-P) = G. }[/math]

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в произвольной группе [math]\displaystyle{ G }[/math] линейный порядок — выделить в ней подмножество неотрицательных чисел P, обладающее перечисленными выше свойствами [P1—P4].

Пусть такое [math]\displaystyle{ P }[/math] выделено. Определим линейный порядок в [math]\displaystyle{ G }[/math] следующим образом:

[math]\displaystyle{ x \leqslant y }[/math], если [math]\displaystyle{ y-x \in P }[/math] (отметим, что из свойства (P3) следует, что если [math]\displaystyle{ y-x \in P, }[/math] то и [math]\displaystyle{ -x+y \in P, }[/math] даже если группа не коммутативна).

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любая упорядоченная группа может быть построена (из неупорядоченной) с помощью описанной процедуры.

Абсолютная величина

Определим абсолютную величину элементов группы: [math]\displaystyle{ |x| = max(x, -x). }[/math] Здесь функция [math]\displaystyle{ max }[/math] осуществляет выбор наибольшего значения.

Свойства абсолютной величины:

• [math]\displaystyle{ |x|=0 }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ x=0. }[/math]
• Для всех ненулевых [math]\displaystyle{ x }[/math] и только для них [math]\displaystyle{ |x|\gt 0. }[/math]
• Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: [math]\displaystyle{ |x| = |-x|. }[/math]
• Неравенство треугольника: [math]\displaystyle{ |x + y| \leqslant |x| + |y|. }[/math]
• [math]\displaystyle{ |x| \leqslant y }[/math] равносильно [math]\displaystyle{ -y \leqslant x \leqslant y. }[/math]

Примеры

• Аддитивная группа целых, рациональных или вещественных чисел с обычным порядком.
• Мультипликативная группа положительных вещественных чисел с обычным порядком.
• Рассмотрим аддитивную группу вещественных многочленов [math]\displaystyle{ a_0+a_1x+\dots+a_nx^n. }[/math] Определим в ней множество [math]\displaystyle{ P }[/math] неотрицательных элементов как множество многочленов, в указанной записи которых первый ненулевой коэффициент положителен. Тогда порождённый порядок определяет упорядоченную коммутативную группу.
• Определим в аддитивной группе [math]\displaystyle{ G }[/math] всех комплексных чисел множество [math]\displaystyle{ P }[/math] неотрицательных элементов следующим образом: [math]\displaystyle{ a+bi \in P, }[/math] если либо [math]\displaystyle{ a\gt 0, }[/math] либо [math]\displaystyle{ a=0; b \geqslant 0. }[/math] Другими словами, из двух комплексных чисел больше то, у которого больше вещественная часть, а в случае совпадения — то, у которого больше мнимая часть. Тогда порождённый порядок превращает [math]\displaystyle{ G }[/math] в упорядоченную коммутативную группу с неархимедовым порядком. В ней, например, [math]\displaystyle{ 0\lt i\lt 1, }[/math] причём сумма любого количества [math]\displaystyle{ i }[/math] всегда меньше 1, так что мнимая единица при таком порядке выступает как бесконечно малая по отношению к единице. Описанный порядок согласован с порядком вещественных чисел и со сложением комплексных чисел, но не согласован с умножением: умножив на [math]\displaystyle{ i }[/math] неравенство [math]\displaystyle{ i\gt 0, }[/math] мы получим ошибочное неравенство [math]\displaystyle{ -1\gt 0 }[/math]. Доказано, что согласовать обе операции, то есть сделать комплексные числа упорядоченным полем, нельзя.

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — 300 с..
• Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. — М.: Наука, 1972. — 343 с.
• Линейно упорядоченная группа // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 322.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
• Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир, 1965. — 343 с.