Неравенство Маркова
Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что неотрицательная случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Хотя получаемая оценка обычно груба, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.
Формулировка
Пусть неотрицательная случайная величина [math]\displaystyle{ X\colon \Omega \to \mathbb{R}^+ }[/math] определена на вероятностном пространстве [math]\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}) }[/math], и её математическое ожидание [math]\displaystyle{ \mathbb{E}X }[/math] конечно. Тогда
- [math]\displaystyle{ \mathbb{P}\left(X \geqslant a\right) \leqslant \frac{\mathbb{E}X}{a} }[/math],
где [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math].
Примеры
1. Пусть [math]\displaystyle{ X \geqslant 0 }[/math] — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв [math]\displaystyle{ a = 2 \mathbb{E}X }[/math], получаем
- [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(X \geqslant 2 \mathbb{E}X) \leqslant \frac{1}{2} }[/math].
2. Пусть в среднем ученики опаздывают на 3 минуты, и нас интересует, какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 и более минут. Чтобы получить грубую оценку сверху, можно воспользоваться неравенством Маркова:
- [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(|X| \geqslant 15) \leqslant \frac{3}{15} = 0{,}2 }[/math].
Доказательство
Пусть неотрицательная случайная величина [math]\displaystyle{ X }[/math] имеет плотность распределения [math]\displaystyle{ p(x) }[/math], тогда для [math]\displaystyle{ a \gt 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{E}X = \int_0^{\infty} xp(x) dx \geqslant \int_a^{\infty} x p(x) dx \geqslant \int_a^{\infty} a p(x) dx = a\mathbb{P}\left(X \geqslant a\right) }[/math].
Связь с другими неравенствами
Если в неравенство подставить вместо случайной величины [math]\displaystyle{ X }[/math] случайную величину [math]\displaystyle{ (Y-\mathbb{E}Y)^{2} }[/math], то получим неравенство Чебышёва:
- [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(|Y-\mathbb{E}(Y)| \geq b) \leq \frac{\textrm{Var}(Y)}{b^2}. }[/math]
И наоборот, представив неотрицательную случайную величину [math]\displaystyle{ X }[/math] в виде квадрата другой случайной величины [math]\displaystyle{ X=Y^2 }[/math], такой что [math]\displaystyle{ \mathbb{E}Y=0 }[/math], из неравенства Чебышева для [math]\displaystyle{ Y }[/math] получим неравенство Маркова для [math]\displaystyle{ X }[/math]. Распределение случайной величины [math]\displaystyle{ Y }[/math] определяется так: [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(Y\lt -\sqrt a) = \mathbb{P}(Y\gt \sqrt a) = \mathbb{P}(X\gt a)/2 }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(Y=0) = \mathbb{P}(X=0) }[/math].
Если [math]\displaystyle{ \phi(x) }[/math] произвольная положительная неубывающая функция, то
- [math]\displaystyle{ \mathbb{P}\left(X \geqslant a\right) = \mathbb{P}\left(\phi(X) \geqslant \phi(a)\right) \leqslant \frac{\mathbb{E}\left[\phi(X)\right]}{\phi(a)} }[/math].
В частности при [math]\displaystyle{ \phi(x)=e^{xt} }[/math], для любых [math]\displaystyle{ t\geqslant0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbb{P}\left(X \geqslant a\right) \leqslant \frac{\mathbb{E}\left[e^{Xt}\right]}{e^{at}} = \frac{M_{X}(t)}{e^{at}} }[/math],
где [math]\displaystyle{ M_{X}(t) }[/math] — производящая функция моментов. Минимизируя правую часть по [math]\displaystyle{ t }[/math], получим неравенство Чернова.
Неравенство Чернова дает лучшую оценку, чем неравенство Чебышёва, а неравенство Чебышёва — лучшую, чем неравенство Маркова. Это неудивительно, поскольку неравенство Маркова предполагает знание только первого момента случайной величины [math]\displaystyle{ X }[/math], Чебышёва — первого и второго, Чернова — всех моментов.