Перейти к содержанию

Лемма Гордана

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Лемма Гордана — лемма из области выпуклой геометрии и алгебраической геометрии. У неё есть несколько равносильных формулировок:

Лемма названа в честь математика П. А. Гордана (1837—1912).

Доказательства

Геометрическое доказательство

Пример конуса в двумерном пространстве, порождённого векторами [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math] и [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math]. Эти же векторы порождают моноид целых точек в конусе.
Пример конуса в двумерном пространстве, порождённого векторами [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math] и [math]\displaystyle{ (1,2) }[/math]. Вектор [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] не выражается, как целочисленная комбинация этих векторов, но конечный набор [math]\displaystyle{ (1,0),(1,1),(1,2) }[/math] порождает моноид целых точек в конусе.

Пусть дан выпуклый рациональный полиэдральный конус [math]\displaystyle{ \sigma^{\vee} }[/math], порождаемый векторами [math]\displaystyle{ u_1, \dots, u_r }[/math] как конус. Пусть [math]\displaystyle{ S_\sigma }[/math] — полугруппа целых точек в данном конусе, то есть

[math]\displaystyle{ S_\sigma = \sigma^\vee \cap \mathbb{Z}^d, }[/math]

где [math]\displaystyle{ d }[/math] — размерность пространства, в котором лежит конус [math]\displaystyle{ S_\sigma }[/math]. Тогда произвольную точку [math]\displaystyle{ x \in S_\sigma }[/math] можно представить в виде

[math]\displaystyle{ x = \sum_i n_i u_i + \sum_i r_i u_i, }[/math]

где неотрицательные коэффициенты при [math]\displaystyle{ u_i }[/math] разложены в сумму неотрицательного целого [math]\displaystyle{ n_i }[/math] и дробной части [math]\displaystyle{ 0 \leqslant r_i \lt 1 }[/math]. Но так как [math]\displaystyle{ x }[/math] и первая сумма целочисленны, вторая сумма тоже обязана быть вектором целочисленной решётки. При этом вторая сумма находится в ограниченной области, зависящей только от векторов [math]\displaystyle{ u_i }[/math], но не от вектора [math]\displaystyle{ x }[/math], поэтому для неё есть лишь конечное число возможностей. Таким образом, [math]\displaystyle{ S_{\sigma} }[/math] конечно порождена[3].

Алгебраическое доказательство

Доказательство[4] основано на том, что полугруппа [math]\displaystyle{ S }[/math] конечно порождена тогда и только тогда, когда её полугрупповая алгебра[англ.] [math]\displaystyle{ \mathbb{C}[S] }[/math] является конечно порождённой алгеброй над [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math].

Докажем сперва вспомогательную лемму о градуированных алгебрах.

Лемма: Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — нётерово [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]-градуированное кольцо. Тогда [math]\displaystyle{ A^+ = \bigoplus\limits_0^{\infty} A_n }[/math] — конечно-порождённая алгебра над [math]\displaystyle{ A_0 }[/math].

Доказательство леммы: пусть [math]\displaystyle{ I = \bigoplus\limits_{i=1}^\infty A_i }[/math] — идеал в [math]\displaystyle{ A }[/math], порождённый всеми однородными элементами положительной степени. В силу нётеровости [math]\displaystyle{ A }[/math] идеал [math]\displaystyle{ I }[/math] порождён конечным числом однородных элементов положительной степени [math]\displaystyle{ f_i }[/math]. Пусть максимальная из степеней элементов [math]\displaystyle{ f_i }[/math] равна [math]\displaystyle{ d }[/math]. Если [math]\displaystyle{ f }[/math] — однородный элемент положительной степени, которая больше степеней всех [math]\displaystyle{ f_i }[/math], то он представляется в виде [math]\displaystyle{ f = \sum_i g_i f_i }[/math]. Можно от каждого [math]\displaystyle{ g_i }[/math] рассмотреть только однородную компоненту степени [math]\displaystyle{ \operatorname{deg} f - \operatorname{deg} f_i }[/math], получив равенство [math]\displaystyle{ f = \sum_i \overline{g}_i f_i }[/math], где [math]\displaystyle{ \overline{g}_i }[/math] — однородные элементы положительной степени, причём эта степень будет строго меньше [math]\displaystyle{ \operatorname{deg} f }[/math]. Таким образом, применив индукцию по степени [math]\displaystyle{ f }[/math], легко видеть, что [math]\displaystyle{ A^+ }[/math] порождается [math]\displaystyle{ \bigoplus\limits_{i=0}^d A_d }[/math] как [math]\displaystyle{ A_0 }[/math]-алгебра. Осталось показать, что [math]\displaystyle{ \bigoplus\limits_{i=0}^d A_d }[/math] конечно порождена как [math]\displaystyle{ A_0 }[/math]-алгебра, для чего достаточно показать, что каждый [math]\displaystyle{ A_i }[/math] — конечно-порождённый [math]\displaystyle{ A_0 }[/math]-модуль. Действительно, пусть дана возрастающая цепочка вложенных конечно-порождённых подмодулей [math]\displaystyle{ N_j }[/math] в [math]\displaystyle{ A_i }[/math], объединение которой равно всему [math]\displaystyle{ A_i }[/math]. Можно рассмотреть цепочку идеалов [math]\displaystyle{ N_j A }[/math]. По нётеровости [math]\displaystyle{ A }[/math] она стабилизируется на некотором шаге, значит стабилизируется и [math]\displaystyle{ N_j = N_j A \cap A_i }[/math][4].

Теперь докажем, что для любого подмоноида [math]\displaystyle{ S \subset \mathbb{Z}^d }[/math] выполнено следующее утверждение:

Если [math]\displaystyle{ S }[/math] конечно порождён (как моноид), то и для произвольного целочисленного вектора [math]\displaystyle{ v }[/math], лежащего в двойственной решётке к решётке, в которой лежит моноид, подмоноид [math]\displaystyle{ S^+ = S \cap \{ x \mid \langle x, v \rangle \geqslant 0 \} }[/math] также конечно порождён.

Действительно, рассмотрим алгебру [math]\displaystyle{ A = \mathbb{C}[S] }[/math], пусть её базис есть [math]\displaystyle{ \chi^a, \, a \in S }[/math]. На ней можно ввести [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]-градуировку:

[math]\displaystyle{ A_n = \operatorname{span} \{ \chi^a \mid a \in S, \langle a, v \rangle = n \} }[/math].

По предположению [math]\displaystyle{ A }[/math] конечно порождена, а значит нётерова. Тогда из доказанной леммы следует, что [math]\displaystyle{ \mathbb{C}[S^+] = \bigoplus\limits_0^\infty A_n }[/math] — конечно порождённая алгебра над [math]\displaystyle{ A_0 }[/math]. Полугруппа [math]\displaystyle{ S_0 = S \cap \{ x \mid \langle x, v \rangle = 0 \} }[/math] лежит в подпространстве меньшей размерности, поэтому можно считать при помощи индукции по размерности, что она тоже конечно порождена, а значит и алгебра [math]\displaystyle{ A_0 = \mathbb{C}[S_0] }[/math] конечно порождена. Таким образом, [math]\displaystyle{ S^+ }[/math] конечно порождён[4].

Наконец, из доказанного утверждения следует лемма Гордана. Действительно, можно рассмотреть в качестве [math]\displaystyle{ S }[/math] всю целочисленную решётку и применять лемму к каждой гиперплоскости, задающей грань максимальной размерности полиэдрального конуса, пока не останется моноид целочисленных точек внутри конуса[4].

Применения

Аффинные торические многообразия

В стандартном определении аффинного торического многообразия по решётке [math]\displaystyle{ M }[/math] и выпуклому рациональному полиэдральному конусу [math]\displaystyle{ \sigma^\vee }[/math] в пространстве, соответствующем решётке, строится полугруппа [math]\displaystyle{ \sigma^\vee \cap M }[/math], по ней алгебра [math]\displaystyle{ \mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M] }[/math] и рассматривается её спектр. Из леммы Гордана следует корректность этого определения: полученная алгебра конечно порождена, то есть действительно задаёт аффинное многообразие как свой спектр[5].

Максимальная степень неразложимого мультигиперграфа

Мультигиперграф с множеством вершин [math]\displaystyle{ V }[/math] — это мультимножество подмножеств [math]\displaystyle{ V }[/math]. Мультигиперграф называется регулярным, если у всех вершин одинаковая степень. Мультигиперграф [math]\displaystyle{ (V,E) }[/math] называется разложимым, если у него можно выбрать собственное непустое подмультимножество рёбер [math]\displaystyle{ F\subset E }[/math] так, что мультигиперграф [math]\displaystyle{ (V,F) }[/math] тоже регулярен для некоторой степени [math]\displaystyle{ k\lt n }[/math]. Для натурального [math]\displaystyle{ n }[/math] обозначим через [math]\displaystyle{ D(n) }[/math] максимальную степень неразложимого мультигиперграфа на [math]\displaystyle{ n }[/math] вершинах. Из леммы Гордана следует, что [math]\displaystyle{ D(n) }[/math] конечно[2].

Доказательство: для каждого подмножества вершин [math]\displaystyle{ S }[/math] определим переменную [math]\displaystyle{ x_S }[/math] (принимающую неотрицательные целые значения). Добавим также ещё одну переменную [math]\displaystyle{ d }[/math] (тоже принимающую неотрицательные целые значения). Рассмотрим набор из [math]\displaystyle{ n }[/math] уравнений (по одному уравнению на каждую вершину):

[math]\displaystyle{ \forall v\in V\colon \sum_{S\ni v} x_S - d = 0 }[/math]

Каждое решение [math]\displaystyle{ (\mathbf{x},d) }[/math] задаёт регулярный мультигиперграф с множеством вершин [math]\displaystyle{ V }[/math]: [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] задаёт кратности соответствующих гиперрёбер, а [math]\displaystyle{ d }[/math] задаёт степень вершин. По лемме Гордана множество решений порождается конечным набором решений, то есть существует конечный набор [math]\displaystyle{ M }[/math] мультигиперграфов таких, что каждый регулярный мультигиперграф — это линейная комбинация некоторых элементов [math]\displaystyle{ M }[/math]. Все неразложимые мультигиперграфы должны лежать в [math]\displaystyle{ M }[/math], то есть их множество конечно[2].

Примечания

  1. David A. Cox, Lectures on toric varieties Архивная копия от 6 мая 2021 на Wayback Machine. Lecture 1. Proposition 1.11.
  2. 2,0 2,1 2,2 Alon, N. (1986-09-01). «Regular hypergraphs, Gordon's lemma, Steinitz' lemma and invariant theory». Journal of Combinatorial Theory, Series A 43 (1): 91–97. doi:10.1016/0097-3165(86)90026-9. ISSN 0097-3165.
  3. CLS, 2011, Proposition 1.2.17.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 BG, 2009, Lemma 4.12
  5. CLS, 2011, pp. 52-53.

Литература

  • David A. Cox, John B. Little, Hal Schenck. Toric varieties (англ.). — American Mathematical Soc., 2011. — P. 841. — (Graduate studies in mathematics). — ISBN 9780821848197.
  • Winfried Bruns, Joseph Gubeladze. Polytopes, rings, and K-theory (англ.). — Springer, 2009. — (Springer Monographs in Mathematics). — doi:10.1007/b105283.