Интеграл Меллина — Барнса
Интеграл Меллина—Барнса (Mellin—Barnes integral) или интеграл Барнса (Barnes integral) в математике — контурный интеграл от функции, содержащей произведение гамма-функций. Интегралы такого типа тесно связаны с обобщёнными гипергеометрическими функциями. Они были введены английским математиком Эрнестом Уильямом Барнсом (Ernest William Barnes, 1874—1953, при переводе на русский язык иногда используется транскрипция «Бернс») в 1908—1910 годах[1][2]. Похожие интегралы рассматривались финским математиком Ялмаром Меллином (Hjalmar Mellin, 1854—1933) — в частности, в связи с обратным преобразованием Меллина[3].
Путь интегрирования обычно проходит вдоль мнимой оси комплексной переменной интегрирования s (от [math]\displaystyle{ -i\infty }[/math] до [math]\displaystyle{ +i\infty }[/math]), но при этом может деформироваться, чтобы отделить полюса гамма-функций типа [math]\displaystyle{ \Gamma(a_i+s) }[/math] (которые должны оставаться слева) от полюсов гамма-функций типа [math]\displaystyle{ \Gamma(b_i-s) }[/math] (которые должны оставаться справа)[4].
Гипергеометрические функции
Гипергеометрическая функция Гаусса может быть следующим образом представлена через интеграл Меллина—Барнса:
- [math]\displaystyle{ {}_2F_1(a, b; c | z) =\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)}(-z)^s\,{\rm d}s. }[/math]
Действительно, если замкнуть контур интегрирования вправо, то (при выполнении соответствующих условий сходимости) мы получаем сумму по вычетам гамма-функции [math]\displaystyle{ \Gamma(-s) }[/math] в полюсах при s = 0, 1, 2, ... , которая воспроизводит определение гипергеометрической функции Гаусса в виде степенного ряда по z.
Аналогичным образом можно записать интегралы Меллина—Барнса, соответствующие обобщённой гипергеометрической функции[англ.] pFq[5]. Для ещё более общей гипергеометрической функции одной переменной, так называемой G-функции Мейера[англ.], представление через интеграл Меллина—Барнса является основным определением функции, так в случае многократных серий полюсов гамма-функций по обеим сторонам контура определение через гипергеометрические ряды (в тех случаях, когда оно возможно) становится довольно громоздким[6].
Интегралы Меллина—Барнса также обобщаются на случай гипергеометрических функций нескольких переменных, таких как функции Аппеля[англ.][7], функция Кампе де Ферье[8], функции Лауричеллы[англ.] (названные в честь Джузеппе Лауричеллы)[9] и другие.
Существуют также q-аналоги интегралов Меллина—Барнса для базисных гипергеометрических рядов[англ.], и на этот случай могут быть обобщены многие важные результаты[10].
Леммы Барнса
Первая лемма Барнса гласит[1][11]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(d-s)\; {\rm d}s =\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}. }[/math]
Эта формула связана с формулой Гаусса, дающей результат для значения гипергеометрической функции [math]\displaystyle{ {}_2F_1(a, b; c | z) }[/math] при [math]\displaystyle{ z=1 }[/math]. Она также является обобщением бета-функции (или бета-интеграла) Эйлера, и поэтому этот интеграл иногда называют бета-интегралом Барнса.
Вторая лемма Барнса гласит[2][12]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(d-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(e+s)}\; {\rm d}s }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d+a)\Gamma(d+b)\Gamma(d+c)}{\Gamma(e-a)\Gamma(e-b)\Gamma(e-c)} }[/math]
где [math]\displaystyle{ e=a+b+c+d }[/math]. Эта формула является аналогом формулы суммирования Заальшютца[англ.].
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 E.W. Barnes (1908), A new development of the theory of the hypergeometric functions, Proc. London Math. Soc. Т. s2-6: 141–177, DOI 10.1112/plms/s2-6.1.141
- ↑ 2,0 2,1 E.W. Barnes (1910), A transformation of generalised hypergeometric series, Quarterly Journal of Mathematics Т. 41: 136–140
- ↑ Eric W. Weisstein. Mellin Transform (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 12 сентября 2012. Архивировано 4 октября 2018 года.
- ↑ Eric W. Weisstein. Mellin-Barnes Integral (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 12 сентября 2012. Архивировано 27 сентября 2012 года.
- ↑ Eric W. Weisstein. Generalized Hypergeometric Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 10 октября 2012. Архивировано 12 ноября 2012 года.
- ↑ Eric W. Weisstein. Meijer G-Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 10 октября 2012. Архивировано 3 ноября 2012 года.
- ↑ Eric W. Weisstein. Appell Hypergeometric Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 10 октября 2012. Архивировано 12 ноября 2012 года.
- ↑ Eric W. Weisstein. Kampé de Fériet Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 10 октября 2012. Архивировано 1 февраля 2015 года.
- ↑ Eric W. Weisstein. Lauricella Functions (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 10 октября 2012. Архивировано 29 сентября 2011 года.
- ↑ George Gasper and Mizan Rahman. "Basic hypergeometric series" (неопр.). — 2nd. — Cambridge University Press, 2004. — Т. 96. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). — ISBN 978-0-521-83357-8.
- ↑ Paris, Kaminski, 2001, p. 103.
- ↑ Paris, Kaminski, 2001, p. 105.
Литература
- R. B. Paris and D. Kaminski. "Asymptotics and Mellin—Barnes integrals". — Cambridge University Press, 2001. — 422 p. — (Encyclopedia of Mathematics and its Appications, v.85). — ISBN 0-521-79001-8.