Лемма Адамара

Лемма Адамара (англ. Hadamard's lemma, фр. Lemme de Hadamard) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара^[1].

Пусть [math]\displaystyle{ f\colon\R^n\to\R }[/math] — функция класса [math]\displaystyle{ C^{r} }[/math], где [math]\displaystyle{ r\geqslant 1 }[/math], определённая в выпуклой окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math] точки [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. Тогда существуют такие функции [math]\displaystyle{ g_1,\;\ldots,\;g_n\colon\R^n\to\R }[/math] класса [math]\displaystyle{ C^{r-1} }[/math], определённые в [math]\displaystyle{ U }[/math], что для всех [math]\displaystyle{ x=(x_1,\;\ldots,\;x_n)\in U }[/math] имеет место равенство^[1]

[math]\displaystyle{ f(x_1,\;\ldots,\;x_n)=f(0)+\sum_{i=1}^n x_i\,\;g_i(x_1,\;\ldots,\;x_n),\quad g_i(0)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0). }[/math]

Если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] — аналитическая, то и функции [math]\displaystyle{ g_1,\;\ldots,\;g_n }[/math] в приведенной выше формуле аналитические.

Обобщенная формулировка

Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменных играет роль параметров:

Пусть [math]\displaystyle{ f(x,\,y)\colon\R^n\times\R^m\to\R }[/math] — функция класса [math]\displaystyle{ C^{r} }[/math], где [math]\displaystyle{ r\geqslant 1 }[/math], определённая в выпуклой окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math] точки [math]\displaystyle{ 0 }[/math], при этом [math]\displaystyle{ x=(x_1,\;\ldots,\;x_n) }[/math] и [math]\displaystyle{ y=(y_1,\;\ldots,\;y_m) }[/math]. Тогда существуют такие функции [math]\displaystyle{ g_1(x,\,y),\;\ldots,\;g_n(x,\,y)\colon\R^n\times\R^m\to\R }[/math] класса [math]\displaystyle{ C^{r-1} }[/math], определённые в [math]\displaystyle{ U }[/math], что для всех [math]\displaystyle{ (x,\,y)\in U }[/math] имеет место равенство

[math]\displaystyle{ f(x,\,y)=f(0,\,y)+\sum_{i=1}^n x_i\,\;g_i(x,\,y),\quad g_i(0,\,y)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0,\,y). }[/math]

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную функцию [math]\displaystyle{ f(tx,\,y)=f(tx_1,\,\ldots,\,tx_n,\,y_1,\,\ldots,\,y_m) }[/math], где [math]\displaystyle{ t }[/math] — дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть [math]\displaystyle{ t }[/math] пробегает значения из отрезка [math]\displaystyle{ [0,\,1] }[/math], тогда функция [math]\displaystyle{ f(tx,\,y) }[/math], рассматриваемая как функция [math]\displaystyle{ \R^{n+m}\to\R }[/math] при каждом фиксированном значении параметра [math]\displaystyle{ t }[/math], пробегает в пространстве функций от [math]\displaystyle{ n+m }[/math] переменных некоторую кривую с концами [math]\displaystyle{ f(0,\,y) }[/math] и [math]\displaystyle{ f(x,\,y) }[/math].

Рассматривая [math]\displaystyle{ f(tx,\,y) }[/math] как функцию переменной [math]\displaystyle{ t }[/math], зависящую от параметров [math]\displaystyle{ x\in R^n }[/math] и [math]\displaystyle{ y\in R^m }[/math], и применяя формулу Ньютона — Лейбница, можно записать:

[math]\displaystyle{ f(x,\,y)-f(0,\,y)=\int_0^1\frac{df(tx,\,y)}{dt}\,dt=\int_0^1\sum_{i=1}^n x_i\,\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,\,y)\,dt=\sum_{i=1}^n x_i g_i(x,\,y), }[/math]

где

[math]\displaystyle{ g_i(x,\,y):=\int_0^1\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,\,y)\,dt. }[/math]

Требуемая гладкость функций [math]\displaystyle{ g_i(x,\,y) }[/math] следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.

Применения

Лемма Адамара позволяет получить ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей.

С помощью леммы Адамара легко доказывается Лемма Морса.
Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции [math]\displaystyle{ f(x,\,y_1,\,\ldots,\,y_m) }[/math] обращается в нуль на гиперплоскости [math]\displaystyle{ x=0 }[/math], то он представим в виде [math]\displaystyle{ f=x\,g(x,\,y_1,\,\ldots,\,y_m), }[/math] где [math]\displaystyle{ g }[/math] — некоторая гладкая функция.
Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции [math]\displaystyle{ f(x,\,y_1,\,\ldots,\,y_m) }[/math] имеет место представление [math]\displaystyle{ f=f_0(y_1,\,\ldots,\,y_m)+x\,g(x,\,y_1,\,\ldots,\,y_m), }[/math] где [math]\displaystyle{ f_0=f(0,\,y_1,\,\ldots,\,y_m) }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] — гладкие функции.
Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:

[math]\displaystyle{ f=f_0(y_1,\,\ldots,\,y_m)+x\,f_1(y_1,\,\ldots,\,y_m)+\ldots+x^n\,f_n(y_1,\,\ldots,\,y_m)+x^{n+1}\,g(x,\,y_1,\,\ldots,\,y_m), }[/math]

где [math]\displaystyle{ f_i(y_1,\,\ldots,\,y_m) }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] — гладкие функции и [math]\displaystyle{ n }[/math] — произвольное натуральное число.

См. также

Примечания

↑ ^1,0 ^1,1 Зорич В.А. Математический анализ.

Литература

Зорич В.А. Математический анализ.
Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.

[autogenerated1-1] 1,0 ^1,1 Зорич В.А. Математический анализ.

[1]