Перейти к содержанию

Круги Форда

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Круги Форда. В основании затемнённых кругов подписаны соответствующие несократимые дроби. Каждый круг касается оси абсцисс и соседних кругов. Несократимые дроби с равными знаменателями соответствуют кругам одного радиуса.

Круги Форда — круги с центрами в точках с координатами [math]\displaystyle{ (p/q,1/(2q^2)) }[/math] и радиусами [math]\displaystyle{ 1/(2q^2) }[/math], где [math]\displaystyle{ p/q }[/math] — несократимая дробь. Каждый круг Форда касается горизонтальной оси [math]\displaystyle{ y=0 }[/math], и любые два круга либо касаются друг друга, либо не пересекаются.[1]

История

Круги Форда — особый случай взаимно касающихся кругов. Системы взаимно касающихся окружностей изучал Аполлоний Пергский, в честь которого названы задача Аполлония и сетка Аполлония. В XVII веке Декарт доказал теорему Декарта — соотношение между обратными радиусами взаимно касающихся окружностей[2].

Круги Форда названы в честь американского математика Лестера Форда старшего[англ.], писавшего о них в 1938 году[1].

Свойства

Круг Форда, соответствующий дроби [math]\displaystyle{ p/q }[/math], обозначается как [math]\displaystyle{ C[p/q] }[/math] или [math]\displaystyle{ C[p,q] }[/math]. Каждому рациональному числу соответствует круг Форда. Кроме того, полуплоскость [math]\displaystyle{ y\geqslant 1 }[/math] тоже можно считать вырожденным кругом Форда бесконечного радиуса, соответствующим паре чисел [math]\displaystyle{ p=1,q=0 }[/math].

Любые два различных круга Форда либо не пересекаются вовсе, либо касаются друг друга. Ни у каких двух кругов Форда не пересекаются внутренние области, несмотря на то что в каждой точке на оси абсцисс, имеющей рациональную координату, эту ось касается один круг Форда. Если [math]\displaystyle{ 0\lt p/q\lt 1 }[/math], то множество кругов Форда, касающихся [math]\displaystyle{ C[p/q] }[/math], можно описать любым из следующих способов:

  1. круги [math]\displaystyle{ C[r/s] }[/math], где [math]\displaystyle{ |p s-q r|=1 }[/math],[1]
  2. круги [math]\displaystyle{ C[r/s] }[/math], где дроби [math]\displaystyle{ r/s }[/math] соседствуют с [math]\displaystyle{ p/q }[/math] в каком-либо ряде Фарея,[1] или
  3. круги [math]\displaystyle{ C[r/s] }[/math], где [math]\displaystyle{ r/s }[/math] — ближайший меньший или ближайший больший предок [math]\displaystyle{ p/q }[/math] в дереве Штерна — Броко, либо [math]\displaystyle{ p/q }[/math] — ближайший меньший или больший предок [math]\displaystyle{ r/s }[/math].[1]

Круги Форда также можно рассматривать как области на комплексной плоскости. Модулярная группа преобразований комплексной плоскости отображает круги Форда в другие круги Форда.[1]

Если интерпретировать верхнюю половину комплексной плоскости как модель гиперболической плоскости (модель Пуанкаре на полуплоскости), то круги Форда можно интерпретировать как замощение гиперболической плоскости орициклами. Любые два круга Форда конгруэнтны в гиперболической геометрии.[3] Если [math]\displaystyle{ C[p/q] }[/math] и [math]\displaystyle{ C[r/s] }[/math] — касающиеся круги Форда, то полуокружность, проходящая через точки [math]\displaystyle{ (p/q,0) }[/math] и [math]\displaystyle{ (r/s,0) }[/math] и перпендикулярная оси абсцисс, — это гиперболическая прямая, проходящая также через точку касания двух кругов Форда.

Круги Форда составляют подмножество кругов, из которых состоит сетка Аполлония, заданная прямыми [math]\displaystyle{ y=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ y=1 }[/math] и окружностью [math]\displaystyle{ C[0/1] }[/math].[4]

Общая площадь кругов

Имеется связь между общей площадью кругов Форда, функцией Эйлера [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], дзета-функцией Римана и постоянной Апери [math]\displaystyle{ \zeta(3) }[/math].[5] Поскольку никакие два круга Форда не пересекаются по внутренним точкам, то немедленно получаем, что суммарная площадь кругов

[math]\displaystyle{ \left\{ C[p,q]: 0 \leqslant \frac{p}{q} \lt 1 \right\} }[/math]

меньше 1. Эта площадь даётся сходящейся суммой, которая может быть вычислена аналитически. По определению, искомая площадь равна

[math]\displaystyle{ A = \sum_{q\geqslant 1} \sum_{ (p, q)=1 \atop 1 \leqslant p \lt q }\pi \left( \frac{1}{2 q^2} \right)^2. }[/math]

Упрощая это выражение, получаем

[math]\displaystyle{ A = \frac{\pi}{4} \sum_{q\geqslant 1} \frac{1}{q^4} \sum_{ (p, q)=1 \atop 1 \leqslant p \lt q } 1 = \frac{\pi}{4} \sum_{q\geqslant 1} \frac{\varphi(q)}{q^4} = \frac{\pi}{4} \frac{\zeta(3)}{\zeta(4)}, }[/math]

где последнее равенство использует формулу для ряда Дирихле с коэффициентами, даваемыми функцией Эйлера. Поскольку [math]\displaystyle{ \zeta(4)=\pi^4/90 }[/math], в итоге получаем

[math]\displaystyle{ A = \frac{45}{2} \frac{\zeta(3)}{\pi^3}\approx 0.872284041. }[/math]

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Форд Л. Р. Fractions (англ.) // American Mathematical Monthly. — 1938. — Vol. 45, no. 9. — P. 586–601. — doi:10.2307/2302799. JSTOR 2302799, MR: 1524411.
  2. ↑ Коксетер Г. The problem of Apollonius (англ.) // American Mathematical Monthly. — 1968. — Vol. 75. — P. 5–15. — doi:10.2307/2315097. MR: 0230204.
  3. ↑ Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.
  4. ↑ Graham, Ronald L.; Lagarias, Jeffrey C.; Mallows, Colin L.; Wilks, Allan R.; Yan, Catherine H. Apollonian circle packings: number theory (англ.) // Journal of Number Theory. — 2003. — Vol. 100, no. 1. — P. 1–45. — doi:10.1016/S0022-314X(03)00015-5. — arXiv:math.NT/0009113., MR: 1971245.
  5. ↑ Marszalek W. Circuits with oscillatory hierarchical Farey sequences and fractal properties (англ.) // Circuits, Systems and Signal Processing. — 2012. — Vol. 31, no. 4. — P. 1279–1296. — doi:10.1007/s00034-012-9392-3..

См. также

Внешние ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Круги_Форда&oldid=5900288