Континуальное распределение Гаусса
Континуальное распределение Гаусса было введено в квантовой теории поля как расширение понятия распределения Гаусса для конечномерных векторов на континуальные пространства скалярных и векторных полей. Континуальное распределение активно используется в аппарате функциональных интегралов.
Определение
Рассмотрим поле [math]\displaystyle{ \varphi_{i,j,k,\dots}(x_1,x_2,\dots) }[/math] из некоторого пространства [math]\displaystyle{ E }[/math], определяемого условиями задачи (как правило, задача определяет условия вроде гладкости и убывания на бесконечности). В общем случае [math]\displaystyle{ \varphi_{i,j,k,\dots}(x_1,x_2,\dots) }[/math] имеет произвольное количество значков и аргументов. Обозначив множество значков поля как [math]\displaystyle{ I = (i,j,k,\dots) }[/math], а набор аргументов как [math]\displaystyle{ X = (x_1, x_2, \dots) }[/math], нормальной (Гауссовой) плотностью распределения назовём функционал
[math]\displaystyle{ \rho \left[ \varphi \right] = C \exp \left\{ -\frac{1}{2} \iint\limits_{\Omega^2} \! \mathrm{d} X_{1} \, \mathrm{d} X_{2} \, \varphi_{I_{1}} (X_{1}) \cdot K_{I_{1}, I_{2}}(X_{1}, X_{2}) \cdot \varphi_{I_{2}} (X_{2}) \right\} }[/math],
где [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] — область определения аргументов поля [math]\displaystyle{ X }[/math], по наборам значков [math]\displaystyle{ I_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ I_2 }[/math] подразумевается суммирование, [math]\displaystyle{ K_{I_{1}, I_{2}}(X_{1}, X_{2}) }[/math] — ядро некоторого дифференциально-интегрального оператора [math]\displaystyle{ K: E \longrightarrow E }[/math], а [math]\displaystyle{ C }[/math] — нормировочная константа.
Это определение, как правило, записывают более коротко, опуская значки, аргументы и интегрирования:
[math]\displaystyle{ \rho \left[ \varphi \right] = C \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) \right\} = C \exp \left\{ -\frac{\varphi K \varphi}{2} \right\} }[/math].
Средние значения
Пусть мы хотим вычислить среднее значение некоторой величины (функции состояния) [math]\displaystyle{ F[\varphi] }[/math]. Введём операцию усреднения [math]\displaystyle{ \langle \dots \rangle }[/math]
[math]\displaystyle{ \langle F \rangle = \int\limits_{E} \! \mathcal{D}\varphi \, \rho \left[ \varphi \right] F[\varphi] }[/math]
В правой части выражения написан функциональный (континуальный) интеграл (подробнее см. Функциональный интеграл).
Вычисление континуальных Гауссовых интегралов
Для континуальных Гауссовых интегралов работает обобщение формулы для n-мерных Гауссовых интегралов на континуальный случай:
[math]\displaystyle{ \int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + \left( A, \varphi \right) \right\} = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{-1/2} \exp \left\{ \frac{(A, K^{-1} A)}{2} \right\} }[/math].
Условие и константа нормировки
Вводя условие нормировки
[math]\displaystyle{ \int \! \mathcal{D}\varphi \, \rho \left[ \varphi \right] = 1 }[/math]
и используя формулу из предыдущего пункта, получим
[math]\displaystyle{ C = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{1/2} }[/math].
См. также
Литература
- Ричард Филлипс Фейнман, Альберт Р. Хиббс. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — Изд-во "Мир", 1968.