Соотношения Крамерса — Кронига

Соотноше́ния Кра́мерса — Кро́нига — интегральная связь между действительной и мнимой частями любой комплексной функции, аналитичной в верхней полуплоскости. Часто используются в физике для описания связи действительной и мнимой частей функции отклика физической системы, поскольку аналитичность функции отклика подразумевает, что система удовлетворяет принципу причинности, и наоборот ^[1]. В частности, соотношения Крамерса — Кронига выражают связь между действительной и мнимой частями диэлектрической проницаемости в классической электродинамике и амплитуды вероятности перехода (матричного элемента) между двумя состояниями в квантовой теории поля. В математике соотношения Крамерса — Кронига известны как преобразование Гильберта.

Определение

Иллюстрация к одному из соотношений Крамерса-Кронига. Поиск действительной части восприимчивости при известной мнимой.

Для комплексной функции [math]\displaystyle{ \chi(\omega) = \chi_1(\omega) + i \chi_2(\omega) }[/math] комплексной переменной [math]\displaystyle{ \omega, }[/math] аналитичной в верхней полуплоскости [math]\displaystyle{ \omega }[/math] и стремящейся к нулю при [math]\displaystyle{ |\omega| \rightarrow \infty, }[/math] соотношения Крамерса — Кронига записываются следующим образом:

[math]\displaystyle{ \chi_1(\omega) = {1 \over \pi} v.p. \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_2(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega' }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \chi_2(\omega) = -{1 \over \pi} v.p. \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_1(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega', }[/math]

где символы [math]\displaystyle{ v.p. }[/math] означает взятие интеграла в смысле главного значения (по Коши). Видно, что [math]\displaystyle{ \chi_1(\omega) }[/math] и [math]\displaystyle{ \chi_2(\omega) }[/math] не являются независимыми, а значит, полная функция может быть восстановлена, если задана только её действительная или мнимая часть.

В более компактной форме:

[math]\displaystyle{ \chi(\omega) = {1 \over i \pi} v.p. \int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega'. }[/math]

Вывод

Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — непрерывная функция комплексной переменной [math]\displaystyle{ x }[/math]. Оценим сумму интегралов по контурам немного выше и немного ниже действительной оси:

[math]\displaystyle{ \lim_{\epsilon \to 0} \left [ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x-i\epsilon} + \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x+i\epsilon} \right ] = \lim_{\epsilon \to 0} \left [ \int_{-\infty-i\epsilon}^{\infty-i\epsilon} \frac{f(x'+i\epsilon)dx'}{x'} + \int_{-\infty+i\epsilon}^{\infty+i\epsilon} \frac{f(x'-i\epsilon)dx'}{x'} \right ] = 2 v.p. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x}dx }[/math]

Оценим разность интегралов по контурам немного выше и немного ниже действительной оси:

[math]\displaystyle{ \lim_{\epsilon \to 0} \left [ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x-i\epsilon} - \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x+i\epsilon} \right ] = \oint _{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x}dx = 2 \pi i f(0) }[/math]

(интегральная формула Коши). Комбинируя эти два равенства, находим

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)dx}{x \pm i\epsilon} = v. p. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x}dx \mp i \pi f (0) }[/math].

Это теорема Сохоцкого — Племеля.

Поляризация в какой-то момент времени определяется значениями электрического поля только в предшествующие моменты времени, поэтому равенство поляризуемости [math]\displaystyle{ \chi(t) }[/math] нулю при отрицательных значениях аргумента позволяет написать:

[math]\displaystyle{ \chi_{\omega}=\int_{0}^{\infty} e^{i \omega t} \chi(t) d t }[/math].

в случае комплексной частоты функция [math]\displaystyle{ \chi(\omega) }[/math] должна быть аналитична в верхней полуплоскости, для того, чтобы удовлетворять принципу причинности. Но тогда и функция [math]\displaystyle{ \chi(\omega') /( \omega'-\omega) }[/math], где [math]\displaystyle{ \omega }[/math] вещественная, тоже аналитична в верхней полуплоскости [math]\displaystyle{ \omega' }[/math] и любой замкнутый в этой полуплоскости интеграл равен нулю:

[math]\displaystyle{ \oint {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega' = 0 }[/math]

Распишем интеграл по вещественной оси с использованием теоремы Сохоцкого — Племея:

[math]\displaystyle{ 0=\oint {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega' = \mathcal{P} \!\!\!\int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega' - i \pi \chi(\omega). }[/math]

тогда

[math]\displaystyle{ \chi(\omega) = {1 \over i \pi} \mathcal{P} \!\!\!\int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega'. }[/math]

Для комплексного [math]\displaystyle{ \chi(\omega) = \chi_1(\omega) + i \chi_2(\omega) }[/math] напишем вещественную и мнимую часть уравнения:

[math]\displaystyle{ \chi_1(\omega) = {1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^\infty {\chi_2(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega' }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \chi_2(\omega) = - {1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^\infty {\chi_1(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega', }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] — интеграл берется в смысле главного значения. Получены соотношения Крамерса — Кронига^[2]^[3].

Соотношения Крамерса — Кронига в физике

Классическая электродинамика ^[4]^[5]

Важным примером применения соотношений Крамерса — Кронига в физике является выражение дисперсионных соотношений в классической электродинамике. В этом случае [math]\displaystyle{ \varepsilon(\omega) = \varepsilon^\prime(\omega) + i\varepsilon^{\prime\prime}(\omega) }[/math], где [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] — диэлектрическая проницаемость, ω — частота.

[math]\displaystyle{ \varepsilon^\prime(\omega) = 1 + \frac{1}{\pi} v.p. \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\varepsilon^{\prime\prime}(x)}{x-\omega} dx }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \varepsilon^{\prime\prime}(\omega) = - \frac{1}{\pi} v.p. \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\varepsilon^\prime(x) -1}{x-\omega} dx. }[/math]

Действительная и мнимая части диэлектрической проницаемости определяют показатель преломления и показатель поглощения (оптические постоянные) данной среды. Таким образом, эти показатели не являются независимыми один от другого и, следовательно, появляется принципиальная возможность по спектру одной из оптических постоянных вычислять спектр другой, не прибегая к непосредственным измерениям последнего. Это позволяет в ряде случаев уменьшить объём экспериментально получаемой информации, необходимой для определения оптических постоянных, например, в области интенсивных полос поглощения конденсированных сред. Выполнимость соотношений Крамерса-Кронига неоднократно проверялась экспериментально для различных сред в различных агрегатных состояниях и при различной температуре (кристаллы, жидкости, растворы)^[6]^[7].

Квантовая теория поля

В квантовой теории поля при изучении процессов рассеяния, амплитуды вероятностей переходов, рассматриваемые как комплексные функции полной энергии системы, передаваемого импульса и т. п. удовлетворяют дисперсионным соотношениям^[3]. Это существенно облегчает изучение этих явлений.

История

Соотношения Крамерса — Кронига установлены в 1926—1927 гг. Ральфом Кронигом^[8] и Хендриком Крамерсом^[9] и названы в их честь.

Примечания

↑ John S. Toll, Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations, Physical Review, vol. 104, pp. 1760—1770 (1956).
↑ Джексон. «Классическая электродинамика». Москва, Мир, 1965. (Eng: Jackson J. Classical Electrodynamics. — New York: Wiley, 1998
↑ ^3,0 ^3,1 Нишиджима, 1965, с. 153.
↑ Martin P. Sum rules Kramers – Kronig relations and transport coefficients in charged systems // Phys. Rev.. — 1967. — Т. 161. — С. 143.
↑ Агранович В. М., Гинзбург В. Л. Кристаллооптика с учётом пространственной дисперсии и теории экситонов. — М., 1979.
↑ Альперович Л. И., Бахшиев Н. Г., Забиякин Ю. Е., Либов В. С. Соотношения Крамерса — Кронига для молекулярных спектров жидкостей и растворов // Оптика и спектроскопия. — 1968. — Т. 24. — С. 60—63.
↑ Забиякин Ю. Е. Проверка дисперсионных соотношений Крамерса — Кронига в широком интервале температур // Оптика и спектроскопия. — 1968. — Т. 24. — С. 828—829.
↑ R. de L. Kronig, On the theory of the dispersion of X-rays, J. Opt. Soc. Am., vol. 12, pp. 547—557 (1926).
↑ H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Intern. Fisica, (Transactions of Volta Centenary Congress) Como, vol. 2, p. 545—557 (1927) .

Литература

Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике / Пер. с англ. — М.: Атомиздат, 1972. — 392 с.
Бартон Г. Дисперсионные методы в теории поля / Пер. с англ. — M., 1968.
Нишиджима К. Фундаментальные частицы. — М.: Мир, 1965. — 462 с.

[1] John S. Toll, Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations, Physical Review, vol. 104, pp. 1760—1770 (1956).

[2] Джексон. «Классическая электродинамика». Москва, Мир, 1965. (Eng: Jackson J. Classical Electrodynamics. — New York: Wiley, 1998

[_f1f39ed22d343ae1-3] 3,0 ^3,1 Нишиджима, 1965, с. 153.

[4] Martin P. Sum rules Kramers – Kronig relations and transport coefficients in charged systems // Phys. Rev.. — 1967. — Т. 161. — С. 143.

[5] Агранович В. М., Гинзбург В. Л. Кристаллооптика с учётом пространственной дисперсии и теории экситонов. — М., 1979.

[6] Альперович Л. И., Бахшиев Н. Г., Забиякин Ю. Е., Либов В. С. Соотношения Крамерса — Кронига для молекулярных спектров жидкостей и растворов // Оптика и спектроскопия. — 1968. — Т. 24. — С. 60—63.

[7] Забиякин Ю. Е. Проверка дисперсионных соотношений Крамерса — Кронига в широком интервале температур // Оптика и спектроскопия. — 1968. — Т. 24. — С. 828—829.

[8] R. de L. Kronig, On the theory of the dispersion of X-rays, J. Opt. Soc. Am., vol. 12, pp. 547—557 (1926).

[9] H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Intern. Fisica, (Transactions of Volta Centenary Congress) Como, vol. 2, p. 545—557 (1927) .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]