Дискретное пространство

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.

Определения

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — некоторое множество, а [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] — семейство всех его подмножеств. Тогда [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] является топологией на этом множестве, называемой дискретной топологией, а пара [math]\displaystyle{ (X, \mathcal{T}) }[/math] называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством.
Пусть [math]\displaystyle{ (X, \rho) }[/math] — метрическое пространство, где метрика [math]\displaystyle{ \rho }[/math] определена следующим образом:

[math]\displaystyle{ \rho(x, y) = \begin{cases} 1, & x \neq y, \\ 0, & x = y, \end{cases} \quad x, y \in X. }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ \rho }[/math] называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.

Замечание

Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное — неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.

Примеры

Пусть [math]\displaystyle{ X = \{ 1,\ldots, n\}, }[/math] где [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math], и [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — дискретная метрика на [math]\displaystyle{ X }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ (X,\rho) }[/math] — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
Пусть [math]\displaystyle{ X = \left\{\frac{1}{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} }[/math] и [math]\displaystyle{ \rho(x,y) = |x-y|. }[/math] Данная метрика не дискретна, однако она порождает дискретную топологию.

Свойства

Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда каждое его одноточечное подмножество открыто.
Все одноточечные подмножества дискретного топологического пространства образуют базу дискретной топологии.
Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
Дискретное метрическое пространство ограничено.
Любые два дискретных топологических пространства, имеющие одинаковую мощность, гомеоморфны.
Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

Тривиальная топология.