Гомологическая сфера

Гомологическая сфера — n-мерное многообразие X с гомологиями как у n-мерной сферы. То есть

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z),

и

H_i(X,Z) = {0} при всех остальных i.

Примеры

• Сфера Пуанкаре
• Сферы Брискорна Σ(p, q, r), то есть пересечание малой 5-мерной сферы с решением уравнения x^p + y^q + z^r = 0 в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^3 }[/math] при взаимно простых p, q и r. Они является гомологическими сферами. При этом Σ(1, 1, 1) гомеоморфно стандартной сфере, а Σ(2, 3, 5) сфере Пуанкаре. Если [math]\displaystyle{ 1/p+1/q+1/r \leq 1 }[/math], то универсальное накрытие Σ(p, q, r) гомеоморфно евклидовому пространству,

Свойства

• Гомологическая сфера связна.
• Фундаментальная группа [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] гомологической сферы совпадает со своим коммутатором.
• Пусть [math]\displaystyle{ n\geqslant 5 }[/math]. Группа [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] является группой какой-то n-мерной гомологической сферы тогда и только тогда, когда:
  1. [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] конечно задана;
  2. [math]\displaystyle{ H_1(\Gamma)=0 }[/math];
  3. [math]\displaystyle{ H_2(\Gamma)=0 }[/math].
• Группа [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] является группой какой-то 4-мерной гомологической сферы, если
  1. [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] задана равным числом образующих и соотношений, и
  2. [math]\displaystyle{ H_1(\Gamma)=0 }[/math].
  • Неизвестно, верно ли обратное.
• Связная сумма двух гомологических сфер — это гомологическая сфера.
• Согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, односвязная гомологическая сфера гомеоморфна стандартной сфере.

Вариации и обобщения

• Рационально гомологические сферы определяется аналогичным образом, но используя гомологии с рациональными коэффициентами.