Точная верхняя и нижняя границы

Точная верхняя граница (верхняя грань) (англ.  least upper bound) и точная нижняя граница (нижняя грань) (англ. greatest lower bound) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Точная верхняя и нижняя грани множества [math]\displaystyle{ X }[/math] обычно обозначаются [math]\displaystyle{ \sup X }[/math] (читается супремум икс) и [math]\displaystyle{ \inf X }[/math] (читается инфимум икс) соответственно.

Используемые определения

Мажоранта, или верхняя грань (граница), числового множества [math]\displaystyle{ X }[/math] — число [math]\displaystyle{ a }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ \forall x\in X \Rightarrow x\leqslant a }[/math].

Миноранта, или нижняя грань (граница), числового множества [math]\displaystyle{ X }[/math] — число [math]\displaystyle{ b }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ \forall x\in X \Rightarrow x\geqslant b }[/math].

Подобным образом вводятся аналогичные понятия для подмножества нечислового частично упорядоченного множества. Эти понятия будут использованы ниже.

Определения

Обычно супремумом или инфимумом множества является, или элемент этого множества, или хотя бы предел последовательности элементов множества.

Точной верхней гранью (наименьшей верхней границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий), подмножества [math]\displaystyle{ X }[/math] частично упорядоченного множества (или класса) [math]\displaystyle{ M }[/math] называется наименьший элемент [math]\displaystyle{ M }[/math], который равен или больше всех элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math]. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается [math]\displaystyle{ \sup X }[/math].

Более формально:

[math]\displaystyle{ S_X=\{y\in M\mid\forall x\in X\!:x\leqslant y\} }[/math] — множество верхних граней [math]\displaystyle{ X }[/math], то есть элементов [math]\displaystyle{ M }[/math], равных или больших всех элементов [math]\displaystyle{ X }[/math];

[math]\displaystyle{ s=\sup(X)\iff S_X\ni s\;|\;\forall y\in S_X\!:s\leqslant y. }[/math]

Точной нижней гранью (наибольшей нижней границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий), подмножества [math]\displaystyle{ X }[/math] частично упорядоченного множества (или класса) [math]\displaystyle{ M }[/math] называется наибольший элемент [math]\displaystyle{ M }[/math], который равен или меньше всех элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math]. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается [math]\displaystyle{ \inf X }[/math].

Замечания

• Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли [math]\displaystyle{ \sup X }[/math] и [math]\displaystyle{ \inf X }[/math] множеству [math]\displaystyle{ X }[/math] или нет:

в случае [math]\displaystyle{ s=\sup X\in X }[/math] говорят, что [math]\displaystyle{ s }[/math] является максимумом [math]\displaystyle{ X }[/math], то есть [math]\displaystyle{ s=\max X }[/math];

в случае [math]\displaystyle{ i=\inf X\in X }[/math] говорят, что [math]\displaystyle{ i }[/math] является минимумом [math]\displaystyle{ X }[/math], то есть [math]\displaystyle{ i=\min X }[/math].

• Приведенные определения являются непредикативными (ссылающимися на самих себя), поскольку определяемое понятие в каждом из них является элементом множества, через которое оно определяется. Сторонники конструктивизма в математике выступают против использования таких определений, не допуская либо различными методами устраняя элементы «порочного круга» в рамках своих теорий.
• При оценке неизвестных констант используют термины «оценка сверху» и «оценка снизу», при этом оценка сверху является нижней границей некоторого известного множества, а оценка снизу верхней границей. C английского языка термин "upper bound" может переводится и как «оценка сверху», и как «верхняя граница», что иногда приводит к путанице. Аналогична ситуация и с выражением "low bound".
• Сходимость монотонных, ограниченных последовательностей множества означает существование точной верхней границы или точной нижней границы.

Примеры

• На множестве всех рациональных чисел, больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. [math]\displaystyle{ \inf }[/math] такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум, и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум.
• Для множества [math]\displaystyle{ S=\left\{\frac{1}{k}\mid k\in\mathbb N\right\}=\left\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\ldots\right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sup S=1 }[/math]; [math]\displaystyle{ \inf S=0 }[/math].

• Множество положительных рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}_+=\{x\in\mathbb{Q} \mid x\gt 0\} }[/math] не имеет точной верхней грани в [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math], точная нижняя грань [math]\displaystyle{ \inf\mathbb{Q}_+=0 }[/math].
• Множество [math]\displaystyle{ X=\{x\in\mathbb Q\mid x^2\lt 2\} }[/math] рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math], но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

[math]\displaystyle{ \sup X=\sqrt{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ \inf X=-\sqrt{2} }[/math].

Теорема о гранях

Формулировка

Непустое подмножество действительных чисел [math]\displaystyle{ A }[/math], ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань; аналогичное [math]\displaystyle{ B }[/math], ограниченное снизу, — точную нижнюю грань. То есть существуют [math]\displaystyle{ \bar a }[/math] и [math]\displaystyle{ \underline b }[/math] такие, что:

[math]\displaystyle{ \bar a = \sup A:\begin{cases} \forall a \in A \Rightarrow a\leqslant \bar a, \\ \forall \bar a'\lt \bar a \,\, \exists a\in A:a \gt \bar a'; \end{cases}\ \ \ \ (1) }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline b = \inf B:\begin{cases} \forall b \in B \Rightarrow b\geqslant \underline b, \\ \forall \underline b'\gt \underline b \,\, \exists b \in B: b \lt \underline b'; \end{cases}\ \ \ \ (2) }[/math]

Доказательство

Для непустого множества [math]\displaystyle{ X }[/math], ограниченного сверху. Для множества, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Представим все числа [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] в виде бесконечных десятичных дробей: [math]\displaystyle{ x=\overline{x_0,x_1\dots x_m \dots} }[/math], где [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb N\cup\{0\};\; \forall i\in\mathbb N,\,x_i }[/math] — цифра.

Множество [math]\displaystyle{ X_0=\{x_0\mid \forall \overline{x_0,x_1\ldots x_m \ldots} \in X\} }[/math] непусто и ограниченно сверху по определению [math]\displaystyle{ X }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ X_0\subset\mathbb N\cup\{0\} }[/math] и ограничено сверху, существует конечное число элементов [math]\displaystyle{ X_0 }[/math], больших некоторого [math]\displaystyle{ \tilde{x}_0\in X_0 }[/math] (иначе бы из принципа индукции следовала неограниченность [math]\displaystyle{ X_0 }[/math] сверху). Среди таких выберем [math]\displaystyle{ a_0=\max X_0 }[/math].

Множество [math]\displaystyle{ X_1=\{\overline{a_0,x_1}\mid\forall\overline{a_0,x_1\ldots x_m\ldots}\in X\} }[/math] непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует [math]\displaystyle{ a_1=\max X_1 }[/math].

Допустим, что для некоторого номера [math]\displaystyle{ m }[/math] построено десятичное число [math]\displaystyle{ \overline{a_0,a_1\dots a_m} }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ \exists x \in X:x=\overline{a_0,a_1\ldots a_m\ldots} }[/math], причём [math]\displaystyle{ \forall x \in X:x=\overline{x_0,x_1\ldots x_m\ldots}\Rightarrow \overline{x_0,x_1\ldots x_m}\leqslant \overline{a_0,a_1\ldots a_m} }[/math] (десятичная запись всякого элемента исходного множества до [math]\displaystyle{ m }[/math]-го знака после запятой не превосходит [math]\displaystyle{ \overline{a_0,a_1\dots a_m} }[/math], причём существует хотя бы 1 элемент, десятичная запись которого начинается с [math]\displaystyle{ a_0,a_1\dots a_m }[/math]).

Обозначим [math]\displaystyle{ X_{m+1}=\{\overline{a_0,\ldots a_{m+1}}\mid\forall\overline{a_0,\ldots a_{m+1}\ldots}\in X\} }[/math] (множество из элементов [math]\displaystyle{ X }[/math], начинающихся в десятичной записи с [math]\displaystyle{ a_0,a_1\dots a_m a_{m+1} }[/math]). По определению числа [math]\displaystyle{ \overline{a_0,a_1\ldots a_m} }[/math], множество [math]\displaystyle{ X_{m+1} }[/math] непусто. Оно конечно, поэтому существует число [math]\displaystyle{ \overline{a_0,a_1\dots a_m a_{m+1}}= \max X_{m+1} }[/math], обладающее теми же свойствами, что и [math]\displaystyle{ a_m }[/math].

Таким образом, согласно принципу индукции, для любого [math]\displaystyle{ n }[/math] оказывается определенной цифра [math]\displaystyle{ a_n }[/math] и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

[math]\displaystyle{ a\equiv \overline{a_0,a_1 \ldots a_n \ldots} \in \mathbb R }[/math].

Возьмем произвольное число [math]\displaystyle{ x \in X, x=\overline{x_0,x_1\dots x_n \dots} }[/math]. По построению числа [math]\displaystyle{ a }[/math], для любого номера [math]\displaystyle{ n }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ \overline{x_0,x_1\dots x_n}\leqslant \overline{a_0,a_1\dots a_n} }[/math] и поэтому [math]\displaystyle{ x \leqslant a }[/math]. Поскольку рассуждение выполнено [math]\displaystyle{ \forall x\in X }[/math], то [math]\displaystyle{ a= \sup X }[/math], причём вторая строка определения оказывается выполненой из построения [math]\displaystyle{ a }[/math].

Выберем [math]\displaystyle{ a'\lt a }[/math]. Нетрудно видеть, что хотя бы одна цифра в десятичной записи [math]\displaystyle{ a' }[/math] меньше соответствующей в записи [math]\displaystyle{ a }[/math]. Рассмотрим полученое [math]\displaystyle{ X_i }[/math] по первому номеру такой цифры. Поскольку оно не пусто, [math]\displaystyle{ \exists x\in X_i\subset X:x\gt a' }[/math].

Доказательство, использующее принцип полноты

Для непустого множества [math]\displaystyle{ X }[/math], ограниченного сверху, рассмотрим [math]\displaystyle{ \overline X }[/math] — непустое множество верхних граней [math]\displaystyle{ X }[/math]. По определению, [math]\displaystyle{ \overline x\geqslant x,\forall x\in X,\forall \overline x\in\overline X }[/math] (множество [math]\displaystyle{ X }[/math] лежит левее [math]\displaystyle{ \overline X }[/math]). Согласно непрерывности, [math]\displaystyle{ \exists c\in\mathbb R:\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall\overline x\in\overline X }[/math]. По определению [math]\displaystyle{ \overline X }[/math], в любом случае [math]\displaystyle{ c\in \overline X }[/math] (иначе [math]\displaystyle{ \overline X }[/math] — не множество верхних граней, а лишь какое-то его подмножество). Так как [math]\displaystyle{ c }[/math] является наименьшим элементом [math]\displaystyle{ \overline X }[/math], то [math]\displaystyle{ c=\sup X }[/math].

Проверим вторую строку определения. Выберем [math]\displaystyle{ c'\lt c }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ \not\exists x\in X:x\gt c' }[/math], тогда [math]\displaystyle{ \forall x\in X:x\leqslant c' }[/math], а это значит, что [math]\displaystyle{ c'\in\overline X }[/math], но [math]\displaystyle{ c'\lt c }[/math], а [math]\displaystyle{ c }[/math] — наименьший элемент [math]\displaystyle{ \overline X }[/math]. Противоречие, значит [math]\displaystyle{ \exists x\in X:x\gt c' }[/math]. Вообще говоря, рассуждение верно [math]\displaystyle{ \forall c' }[/math].

Для множества, ограниченного снизу, рассуждения аналогичны.

Свойства

• По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] существует [math]\displaystyle{ \sup }[/math].
• По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] существует [math]\displaystyle{ \inf }[/math].
• Вещественное число [math]\displaystyle{ s }[/math] является [math]\displaystyle{ \sup X }[/math] тогда и только тогда, когда:

[math]\displaystyle{ s }[/math] есть верхняя грань [math]\displaystyle{ X }[/math], то есть для всех элементов [math]\displaystyle{ x\in X }[/math], [math]\displaystyle{ x\leqslant s }[/math];

для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] найдётся [math]\displaystyle{ x\in X }[/math], такой, что [math]\displaystyle{ x+\varepsilon \gt s }[/math] (то есть к [math]\displaystyle{ s }[/math] можно сколь угодно «близко подобраться» из множества [math]\displaystyle{ X }[/math], а при [math]\displaystyle{ s\in X }[/math] очевидно, что [math]\displaystyle{ s+\varepsilon \gt s }[/math]).

• Утверждение, аналогичное последнему, верно и для точной нижней грани.

Вариации и обобщения

• Существенный супремум

Литература

• Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
• Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.
• У. Рудин. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. — 320 с.