Веер Кнастера — Куратовского

Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, удаление из которого одной точки делает его вполне несвязным. Предложен польскими математиками Кнастером и Куратовским.

Построение

Рассмотрим прямоугольник

[math]\displaystyle{ S = [0; 1] \times \left[0; \tfrac{1}{2} \right] }[/math]

Построим на его нижнем ребре канторово множество [math]\displaystyle{ C }[/math] и обозначим через [math]\displaystyle{ A }[/math] множество точек канторова множества первого рода (т. е. концы всех удалённых интервалов), а через [math]\displaystyle{ B }[/math] все остальные точки из [math]\displaystyle{ C }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ L_c }[/math] это отрезок прямой, соединяющий точку [math]\displaystyle{ c \in C }[/math] с точкой [math]\displaystyle{ s=\left(\tfrac{1}{2}; \tfrac{1}{2}\right). }[/math]

В этих обозначениях веером Кнастера — Куратовского называется множество [math]\displaystyle{ X = Q \cup I }[/math], где

[math]\displaystyle{ Q = \{(x, y) \in S \mid (x, y)\in L_c,\; c \in A,\; y \in \mathbb{Q}\} }[/math]

[math]\displaystyle{ I = \{(x, y) \in S \mid (x, y) \in L_c,\; c \in B,\; y \notin \mathbb{Q}\}. }[/math]

Обоснование

Покажем, что введённое множество связно.

Предположим, что это не так, то есть существуют множества [math]\displaystyle{ Y }[/math] и [math]\displaystyle{ Z }[/math] такие, что [math]\displaystyle{ X = Y \cup Z }[/math] и при этом [math]\displaystyle{ \overline Y \cap Z = Y \cap \overline Z = \emptyset }[/math]. Для определённости будем считать, что [math]\displaystyle{ s \in Y }[/math]. Обозначим за [math]\displaystyle{ u_c }[/math] точку из [math]\displaystyle{ L_c }[/math], с [math]\displaystyle{ y }[/math]-координатой равной точной верхней грани [math]\displaystyle{ y }[/math]-координат всех точек, входящих в [math]\displaystyle{ Z \cap L_c }[/math]. Если же [math]\displaystyle{ Z \cap L_c }[/math] пусто, будем считать, что [math]\displaystyle{ u_c = c }[/math]. Очевидно, что [math]\displaystyle{ u_c }[/math] не может принадлежать [math]\displaystyle{ X \setminus C }[/math], так как иначе эта точка оказалась бы предельной как для [math]\displaystyle{ Y }[/math] так и для [math]\displaystyle{ Z }[/math], что противоречит предположению несвязности. То есть, [math]\displaystyle{ \forall c \in C\quad u_c \in A \subset X }[/math] или [math]\displaystyle{ u_c \notin X }[/math].

Пусть [math]\displaystyle{ \{r_i\} }[/math] — все рациональные числа отрезка [math]\displaystyle{ [0; 1] }[/math], обозначим:

[math]\displaystyle{ P_i = \{c \in B: \exists u_c = (x, r_i)\},\quad P = \cup P_i,\quad T = \{c \in B:\; c = u_c\} }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ B = T \cup P }[/math], то есть [math]\displaystyle{ C = A \cup T \cup P }[/math]. Заметим, что [math]\displaystyle{ P_i }[/math] нигде не плотны в [math]\displaystyle{ C }[/math], иначе бы существовал открытый интервал, пересечение которого с [math]\displaystyle{ C }[/math] лежало бы в [math]\displaystyle{ P_i }[/math], но любое такое пересечение по свойствам канторова множества обязано содержать точки из [math]\displaystyle{ A }[/math] в то время как [math]\displaystyle{ P_i \subset B = C \setminus A }[/math].

Множество [math]\displaystyle{ C }[/math] является множеством второй категории как полное метрическое пространство; более того, любое открытое подмножество [math]\displaystyle{ C }[/math] также второй категории. Но [math]\displaystyle{ P \cup A }[/math] первой категории ([math]\displaystyle{ A }[/math] счётно, а [math]\displaystyle{ P }[/math] является счётным объединением нигде не плотных множеств), значит, в любом открытом подмножестве [math]\displaystyle{ C }[/math] обязаны лежать точки из [math]\displaystyle{ T }[/math]; то есть [math]\displaystyle{ T }[/math] плотно в [math]\displaystyle{ C }[/math].

Теперь допустим, что [math]\displaystyle{ z \in Z }[/math]. В силу плотности [math]\displaystyle{ T }[/math] в [math]\displaystyle{ C }[/math], любое открытое множество, содержащее [math]\displaystyle{ z }[/math], содержит также и некоторый сегмент отрезка [math]\displaystyle{ L_t }[/math] для какого-то [math]\displaystyle{ t \in T }[/math]. По определению множества [math]\displaystyle{ T }[/math] имеем [math]\displaystyle{ (X \cap L_t) \setminus \{t\} \subset Y }[/math], это значит, что [math]\displaystyle{ z \in \overline Y }[/math]. Получили противоречие. Значит, предположение о несвязности множества [math]\displaystyle{ X }[/math] ошибочно.

Осталось показать, что удаление точки [math]\displaystyle{ s }[/math] делает [math]\displaystyle{ X }[/math] вполне несвязным. Предположим, что [math]\displaystyle{ V \subset X \setminus \{s\} }[/math] связно. Тогда оно обязано лежать целиком внутри какого-либо сегмента [math]\displaystyle{ L_c }[/math] (иначе бы оно было разделено некоторым сегментом надвое). Однако множество [math]\displaystyle{ L_c \cap (X \setminus \{s\}) }[/math] вполне несвязно, значит, и [math]\displaystyle{ V }[/math] вполне несвязно.

Литература

• Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размеренности.
• Steen, Seebach. Counterexamples in Topology