Бет-число
Числа бет ([math]\displaystyle{ \beth }[/math]) в математике — кардинальные числа, характеризующие мощность бесконечного множества. Последовательность бесконечных кардинальных чисел обычно записывается как [math]\displaystyle{ \beth_0,\ \beth_1,\ \beth_2,\ \beth_3,\ \dots }[/math], где [math]\displaystyle{ \beth }[/math] названа по второй букве еврейского алфавита (бет).
Числа бет являются частью иерархии алефов ([math]\displaystyle{ \aleph_0,\ \aleph_1,\ \dots }[/math]). Начинаются они одинаково: [math]\displaystyle{ \beth_0 = \aleph_0, }[/math] а расположение [math]\displaystyle{ \beth_1 }[/math] среди алефов зависит от континуум-гипотезы. Если принять континуум-гипотезу, то [math]\displaystyle{ \beth_1 = \aleph_1 }[/math] (мощность континуума), верно и обратное. Если принять более мощную обобщённую континуум-гипотезу, то обе иерархии полностью совпадают: [math]\displaystyle{ \beth_\alpha = \aleph_\alpha }[/math] для любого индекса [math]\displaystyle{ \alpha. }[/math] Если же принять, что континуум-гипотеза неверна, то существует много [math]\displaystyle{ \aleph }[/math], которые не являются [math]\displaystyle{ \beth }[/math].
Определение
Общее определение для конечных индексов:
- [math]\displaystyle{ \beth_0=\aleph_0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}} }[/math]
Для бесконечных индексов:
- [math]\displaystyle{ \beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha\lt \lambda \}. }[/math]
Примеры.
- бет-ноль ([math]\displaystyle{ {\displaystyle \beth _{0}} }[/math]) — равен [math]\displaystyle{ {\displaystyle \aleph _{0}} }[/math].
- бет-один ([math]\displaystyle{ \beth _{1} }[/math]) — множество континуума.
- бет-два ([math]\displaystyle{ \beth _{2} }[/math]) — 2c, например, множество подмножеств действительных чисел.
- бет-омега ([math]\displaystyle{ \beth _{\omega } }[/math]) — наименьший неисчислимый сильный кардинальный предел.
Литература
- Forster T. E. Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press, 1995 — Beth number is defined on page 5.
- Bell, John Lane; Slomson, Alan B. Models and Ultraproducts: An Introduction (англ.). — reprint of 1974. — Dover Publications, 2006. — ISBN 0-486-44979-3. See pages 6 and 204—205 for beth numbers.
- Roitman, Judith. Introduction to Modern Set Theory (англ.). — Virginia Commonwealth University, 2011. — ISBN 978-0-9824062-4-3. See page 109 for beth numbers.